Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Результатом перенесения будет ортогональное преобразование пространства TMx, близкое к тождественному. Оно отличается от тождественного преобразования на величину порядка є2 и имеет вид
Аг (1, и) = E + 82Q + о (є2),
где Q — кососимметрический оператор, зависящий от 1 и от т|.
Итак, мы можем определить функцию Q от пары векторов §, Tj касательного пространства в точке х со значениями в пространстве кососимметрических операторов на TMx формулой
Q(I, Tj)= hm-р--
Задача. Докажите, что функция Q является дифференциальной 2-формой (со значениями в кососимметрических операторах на TMx) и не зависит от выбора координат, с помощью которых мы отождествляли TMx и M.
Форма Q называется тензором кривизны риманова многообразия. Таким образом, тензор кривизны описывает инфинитезималь-ный поворот касательного пространства при параллельном перенесении вокруг бесконечно малого параллелограмма.
Е. Кривизна по двумерному направлению. Рассмотрим двумерную плоскость L в касательном пространстве к риманову многообразию в какой-либо его точке. Выпустим из этой точки геодезические по всевозможным направлениям из плоскости L. Эти геодезические образуют вблизи нашей точки гладкую поверхность. Построенная поверхность вложена в риманово многообразие и получает из него риманову метрику.
Кривизной риманова многообразия M в направлении !-плоскости L в касательном пространстве к M в точке х называется риманова кривизна описанной выше поверхности в точке х.
РИМАНОВА КРИВИЗНА
273
Задача. Найти кривизны трехмерной сферы радиуса R и пространства Лобачевского по всевозможным двумерным направлениям. Ответ. R~2, —1.
Вообще говоря, кривизны риманова многообразия по разным двумерным направлениям в одной точке различны. Их зависимость от направления описывается приведенной ниже формулой (3).
Теорема. Кривизна риманова многообразия по двумерному направлению, определенному парой ортогональных векторов |, Tj длины 1, выражается через тензор кривизны Q по формуле
K = (Q (I, T1) I, I1), (3)
где угловые скобки означают скалярное произведение, задающее риманову метрику.
Доказательство получается сравнением определений тензора кривизны и кривизны по двумерному направлению. Мы не останавливаемся на его аккуратном проведении. При желании можно принять формулу (3) за определение кривизны К.
Ж. Коварвантное дифференцирование. С параллельным перенесением вдоль кривых на римановом многообразии связано своеобразное дифференциальное исчисление — так называемое кова-риантное дифференцирование, или риманова связность. Определяется это дифференцирование следующим образом.
Пусть I — вектор, касательный к риманову многообразию M в точке х, & V — векторное поле, заданное на M в окрестности точки х. Ковариантная производная поля v по направлению вектора I определяется с помощью какой-либо кривой, выходящей из точки X со скоростью §.
При движении по этой кривой в течение небольшого интервала времени t мы окажемся в новой точке X (і). Возьмем вектор ПОЛЯ V в этой точке X (t) и параллельно перенесем его вдоль кривой назад в исходную точку х. Мы получим зависящий от t вектор в касательном пространстве к M в исходной точке х. При t = О это вектор V (х), а при других t он изменяется в соответствии с непараллельностью векторов поля V вдоль нашей кривой направления |.
Рассмотрим производную полученного вектора по t при t = 0. Эта производная является вектором касательного пространства TMx. Она называется ковариантной производной поля v по % и обозначается через V§v.
Легко проверить, что вектор VgW не зависит от выбора кривой, участвовавшей в определении, но лишь от вектора % и поля v.
Задача 1. Доказать следующие свойства ковариантного дифференцирования:
1) VgV есть билинейная функция | и v.
2) Vg/V = (Ьф V + / (х) Vg«, где' / — гладкая функция, L^f — производная функции / по направлению вектора 5 из TMx.
274
ДОБАВЛЕНИЕ 1
3) L% <v, w> = <V|«, w (x)> + <v (x), V|W>.
4) Vv(x)w — Vwo(x)V = I*"» »1 (*) (гДе ?[to, «] = ^«, — ^«^.)-
Задача 2. Доказать, что тензор кривизны выражается через ковари-антные производные следующим образом:
O (Eo. Чо) So = - V6V4E + V4V6S + v(4> 6, с
где 6, Tj, 5 — любые векторные поля, значения которых в рассматриваемой точке равны I0, Tj0, g0.
Задача 3. Доказать, что тензор кривизны удовлетворяет следующим тождествам:
О (S. Ч) С + О 01. О S + Q (fe, 1) ч = О, <Q(1, ч)«, ?> = <? (а,Г)?,Ч>.
Задача 4. Пусть риманова метрика задается в локальной системе координат X1, . . ., хп симметричной матрицей grf.
dsa = Hgijdxidxj.
Обозначим через ех, . . ., еп координатные векторные поля (так что производная по направлению е$ есть oj = д/дхї). Тогда ковариантные производные можно вычислять с помощью формул задачи 1 и следующих формул:
К I
где (glK) — матрица, обратная к (ш).
Пользуясь приведенным в задаче 2 выражением тензора кривизны через связность, мы получаем явную формулу и для тензора кривизны. Числа •fiyjcj = <fl (ej, efi ец, еі> называются компонентами тензора кривизны.
