Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
метрики и достаточно сложны; см. ниже задачи пункта Ж (стр. 274).
Г. Многомерное параллельное перенесение. Конструкция параллельного перенесения на римановых многообразиях размерности выше 2 несколько сложнее, чем приведенная выше двумерная конструкция. Дело в том, что на-
Ри°нм1ниеПвР^с^ан3ствеере" чиная с трехмерного случая условие
неизменности угла с геодезической не определяет еще направления перенесенного вектора. А именно, атот вектор можно еще вращать вокруг направления геодезической, сохраняя угол с ней.
Усовершенствование, которое следует внести в конструкцию параллельного переноса вдоль геодезической,— это выбор двумерной плоскости, проходящий через касательную к геодезической, в которой должен лежать переносимый вектор. Выбор этот производится следующим (к сожалению, довольно сложным) образом.
В начальной точке геодезической нужная плоскость есть: это плоскость, натянутая на переносимый вектор и вектор направления геодезической. Рассмотрим все геодезические, выходящие из начальной точки по направлениям, лежащим в этой плоскости. Все такие геодезические образуют гладкую (вблизи начальной точки) поверхность, содержащую ту геодезическую, вдоль которой мы намерены переносить вектор (рис. 233).
Рассмотрим новую точку на этой геодезической на малом расстоянии А от начальной точки. Касательная плоскость к описанной только что поверхности в новой точке содержит направление геодезической в этой новой точке. Примем эту новую точку за начальную и используем имеющуюся в ней касательную плоскость для построения новой поверхности (образованной пучком геодезических, выходящих из новой точки). Эта поверхность содержит исходную геодезическую. Сдвинемся по исходной геодезической еще на А и повторим все построение сначала.
РИМАНОВА КРИВИЗНА
271
За конечное число шагов мы доберемся до любой точки исходной геодезической. В результате нашей деятельности в каждой точке этой геодезической возникнет касательная плоскость, содержащая направление геодезической. Эта плоскость зависит от шага А нашей конструкции. При А ->¦ 0 полученное семейство касательных плоскостей стремится (как можно сосчитать) к определенному пределу.
В результате вдоль нашей геодезической возникает поле касательных двумерных плоскостей, содержащих направление геодезической и определенное внутренним образом самой метрикой многообразия.
Теперь параллельное перенесение нашего вектора вдоль геодезической определяется как в двумерном случае: этот вектор должен при перенесении оставаться в предписанных плоскостях, сохранять свою длину и свой угол с направлением геодезической. Параллельное перенесение вдоль любой кривой определяется с помощью аппроксимации геодезическими ломаными, как в двумерном случае.
Задача. Докажите, что параллельное перенесение векторов из одной точки риманова многообразия в другую вдоль фиксированного пути является линейным изометрическим оператором из касательного пространства в первой точке в касательное пространство во второй точке.
Задача. Перенести параллельно вдоль линии
X1 = t, х2 = 0, у = 1 (0 < t < т) пространства Лобачевского с метрикой
ЙЛ + +
любой вектор.
Ответ. Векторы направлений осей X1 и у поворачиваются в натянутой на них плоскости на угол т в направлении от оси у к оси X1, а вектор направления я2 переносится параллельно себе и в смысле евклидовой метрики.
Д. Тензор кривизны. Рассмотрим теперь, как и в двумерном случае, параллельное перенесение по маленькому замкнутому пути, начинающемуся и кончающемуся в одной точке риманова многообразия.
Параллельное перенесение вдоль такого пути возвращает век торы в исходное касательное пространство. Полученное отображение касательного пространства в себя является малым поворотом (ортогональным преобразованием, близким к тождественному).
В двумерном случае мы характеризовали этот поворот одним числом — углом поворота ср. В многомерном случае роль числа ср играет кососимметри-ческий оператор.
А именно, каждый ортогональный оператор А, близкий к тождественному, единственным образом* записывается в виде
л = еф=я+Ф + 5!-+...,
где Ф — малый кососимметрический оператор.
272
ДОБАВЛЕНИЕ 1
Задача. Вычислить Ф, если А — поворот плоскости на малый угол ф.
Ответ. A = ( C0S(P 8ІП(Р\, Ф=( 0 «П.
V—віпф совф/ V—ф О/
В отличие от двумерного случая, функция пути Ф не является, вообще говоря, аддитивной (так как ортогональная группа n-мерного пространства при п > 2 не коммутативна). Тем не менее мы можем построить при помощи ф форму кривизны, описывающую «бесконечно малый поворот при обносе бесконечно малого параллелограмма» таким же способом, как в двумерном случае, т. е. при помощи формулы (2).
Итак, пусть I, Tj из TMx — касательные к риманову многообразию M в точке X векторы. Построим на M малый криволинейный параллелограмм Пе. (Стороны параллелограмма Пе получаются из векторов е|, ет) касательного пространства при координатном отождествлении окрестности нуля в TMx с окрестностью точки X на M). Рассмотрим параллельное перенесение вдоль сторон параллелограмма Пе (обход начинаем с 1).
