Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
tfga— dx2+ ау2 у2
Легко сосчитать, что геодезические этого двумерного риманова многообразия— это окружности и прямые, перпендикулярные оси х. Дробно-линейные преобразования с вещественными коэффициентами
ez + Ъ ez + d
268
ДОБАВЛЕНИЕ 1
являются изометрическими преобразованиями нашего многообразия, которое называется плоскостью Лобачевского.
Задача. Перенести вектор направления мнимой оси из точки z = і в точку z = t + і вдоль горизонтальной прямой (dy = 0) (рис. 232).
Рис. 231. Параллельное перенесение на сфере Рис. 232. Параллельное перенесение на плоскости Лобачевского
Ответ. При сдвиге на t вектор повернется на t радиан в направлении от орта оси у к орту оси х.
Б. Форма кривизны. Теперь мы можем определить риманову кривизну двумерного риманова многообразия (т. е. поверхности) в каждой точке. С этой целью выберем в окрестности рассматриваемой точки ориентацию нашей поверхности и рассмотрим параллельное перенесение векторов вдоль границы малой области D на нашей поверхности. Легко сообразить, что результат такого перенесения — поворот на малый угол. Обозначим этот угол через ф (D) (направление отсчета угла фиксируется выбором ориентации поверхности).
Если разбить область D на две части D1 и D2, то результат параллельного перенесения по границе D можно получить, обойдя сперва одну часть, а потом другую. Следовательно,
ф (D) = ф (D1) + ф (D2),
т. е. угол ф является аддитивной функцией области. При изменении направления обхода границы угол ф также меняет знак. Естественно поэтому представить ф (D) как интеграл по D от подходящей 2-формы. Такая 2-форма действительно существует; она называется формой кривизны, и мы обозначим ее через Q. Таким образом, мы определяем форму кривизны Q соотношением
ф (D)= Jq. (і)
D
Значение формы кривизны Q на паре касательных векторов |, т) из TMx можно определить следующим образом. Отождествим окрестность точки 0 касательного пространства к M в точке х с окрестностью точки X на M (например, с помощью каких-либо локальных координат). Мы можем тогда построить на M парад-
РИМАНОВА КРИВИЗНА
269
лелограмм Пе, натянутый на векторы е|, etj, по меньшей мере при достаточно малых е.
Теперь значение формы кривизны на наших векторах определяется формулой
Q(S1IO = HmJ^-. (2)
Иными словами, значение формы кривизны на паре бесконечно малых касательных векторов равно углу поворота при переносе вдоль построенного по этим векторам бесконечно малого параллелограмма.
Задача. Найти форму кривизны на плоскости, на сфере радиуса R и на плоскости Лобачевского.
Ответ. Q = О, Q = R~*dS, Q = — dS, где 2-форма dS — элемент площади на нашей ориентированной поверхности.
Задача. Доказать, что определенная формулой (2) функция является действительно дифференциальной 2-формой, не зависящей от участвовавшего в построении произвола, и что поворот вектора при переносе вдоль границы ориентированной конечной области D выражается через эту форму по., формуле (1).
Задача. Доказать, что интеграл формы кривизны по любой выпуклой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве равен 4я.
В. Риманова кривизна поверхности. Заметим теперь, что всякая дифференциальная 2-форма на двумерном ориентированном римановом многообразии M может быть записана в виде pdS, где dS — элемент ориентированной площади, ар — числовая функция, однозначно определенная выбором метрики и ориентации.
В частности, форму кривизны можно записать в виде
Q = KdS\
где К: M ->¦ R — гладкая функция на многообразии М, a dS — элемент площади.
Значение функции К в точке х называется римановой кривизной поверхности в точке х.
Задача. Вычислить риманову кривизну евклидовой плоскости, сферы радиуса R и плоскости Лобачевского. Ответ. K = O, K = Д"2, К = —1.
Задача. Доказать, что риманова кривизна зависит не от ориентации многообразия, но лишь от его метрики.
Указание. При изменении ориентации 2-формы Q и dS меняют знак одновременно.
Задача. Доказать, что для поверхностей в обычном трехмерном евклидовом пространстве риманова кривизна в каждой точке равна произведению обратных величин главных радиусов кривизны (со знаком минус, если центры кривизны лежат по разные стороны от поверхности).
Заметим^ что знак кривизны многообразия в точке не зависит от ориентации многообразия; этот знак можно определить, вовсе не используя ориентации.
270
ДОБАВЛЕНИЕ 1
А именно, на многообразии положительной кривизны при параллельном переносе вдоль границы малой области вектор поворачивается вокруг своего начала в ту же сторону, в какую точка на границе обходит область; на многообразии отрицательной кривизны направление вращения обратное.
Далее заметим, что значение кривизны в точке определяется одной лишь метрикой в окрестности этой точки, и поэтому сохраняется при изгибании: у изометрических поверхностей в соответственных точках кривизны совпадают. Поэтому риманову кривизну называют также внутренней кривизной.
Формулы для вычисления кривизны через компоненты метрики в какой-либо системе координат включают вторые производные
