Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 100

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 195 >> Следующая


Таким образом, если вдвое сблизить стенки, скорость шарика возрастет также вдвое, а если раздвигать стенки, то скорость уменьшится.

О теории адиабатических инвариантов многочастотных систем см. в книге: Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— M.: Наука, 1978, гл. «Теория возмущений».

Рис. 229. Адиабатический инвариант абсолютно упругого шарика между медленно движущимися стенками

*) Это не следует формально из доказанной теоремы, так как в ней речь идет о гладких системах, без ударов. Доказательство адиабатической инвариантности vi в этой системе — поучительная элементарная задача.

ДОБАВЛЕНИЯ

Добавление 1 РИМАНОВА КРИВИЗНА

Из листа бумаги можно свернуть конус или цилиндр, но нельзя получить никакого куска сферы без складок, растяжений или разрывов. Причина заключается в различии «внутренней геометрии» этих поверхностей: никакую часть сферы нельзя изометрически отобразить на плоскость.

Инвариант, различающий римановы метрики, называется ри-мановой кривизной. Риманова кривизна плоскости равна нулю, а кривизна сферы радиуса R равна Вгй. Если одно риманово многообразие изометрически отображено на другое, то римановы кривизны в соответствующих местах равны. Например, поскольку конус или цилиндр локально изометричны плоскости, то риманова кривизна конуса или цилиндра в любой точке равна 0. Следовательно, никакую область на конусе или на цилиндре нельзя отобразить изометрически на сферу.

Риманова кривизна многообразия оказывает весьма существенное влияние на поведение геодезических на нем, т. е. на движение в соответствующей динамической системе. Если риманова кривизна многообразия положительна (как на сфере или на эллипсоиде), то близкие геодезические в большинстве случаев колеблются друг около друга, а если кривизна отрицательна (как на поверхности однополостного гиперболоида), то геодезические быстро расходятся в разные стороны.

В этом добавлении определяется риманова кривизна и кратко обсуждаются свойства геодезических на многообразиях отрицательной кривизны. Дальнейшие сведения о римановой кривизне можно найти в книге: M и л н о р Дж. Теория Морса.— М.я Мир, 1965, а о геодезических на многообразиях отрицательной кривизны — в книге: А н о с о в Д. В. Геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН им. Стек-лова.— M., 1967. » •

А. Параллельное перенесение на поверхностях. Определение римановой кривизны основано на конструкции параллельного перенесения векторов вдоль кривых на римановом многообразии.

Начнем с примера, когда данное риманово многообразие двумерное, т. е. поверхность, а данная кривая — геодезическая на этой поверхности.

РИМАНОВА КРИВИЗНА

267

Параллельное перенесение вектора, касательного к поверхности, вдоль геодезической на этой поверхности определяется так: точка приложения вектора движется по геодезической, а сам вектор непрерывно перемещается так, что его угол с геодезической и его длина остаются постоянными.

В результате такого перенесения всех векторов, касательных к поверхности в начальной точке геодезической, в конечную точку возникает отображение касательной плоскости в начальной точке в касательную плоскость в конечной точке. Это отображение линейно и изометрично.

Теперь мы определим параллельное перенесение вектора на поверхности вдоль ломаной, составленной из нескольких дуг геодезических (РИС. 230). Чтобы перенести ВЄК- nepeHecekH^Wo^b^reo-TOp ВДОЛЬ ЛОМаНОЙ, МЫ переНОСИМ его ИЗ девической ломаной

первой вершины во вторую вдоль первой дуги

геодезической, полученный вектор переносим вдоль второй дуги в следующую вершину и т. д.

Задача." Перенесите вектор, касательный к сфере в одной из вершин сферического треугольника с тремя прямыми углами, обратно в эту вершину вдоль треугольника.

Ответ. В результате такого перенесения касательная плоскость к сфере в начальной вершине повернется на прямой угол.

Наконец, параллельное перенесение вектора вдоль любой гладкой кривой на поверхности определяется с помощью предельного перехода, в котором кривая аппроксимируется ломаными, составленными из дуг геодезических.

З а д а ч а. Перенесите вектор, направленный к Северному полюсу и приложенный в Ленинграде (на широте Я = 60°) вдоль параллели 60° с. ш. обратно в Ленинград, двигаясь на восток.

Ответ. Вектор повернется на угол 2л (1 — sin К), т. е. примерно на 50° к западу. Таким образом, величина угла поворота пропорциональна площади, ограниченной нашей параллелью, а направление вращения совпадает с направлением обхода Северного полюса при перенесении вектора.

Указание. Достаточно перенести вектор вдоль той же окружности по конусу, образованному касательными северного направления к Земле, проведенными во всех точках параллели (рис. 231). Конус же этот можно развернуть на плоскость, после чего параллельное перенесение на его поверхности становится обычным параллельным перенесением на плоскости.

Пример. Рассмотрим верхнюю полуплоскость у > 0 плоскости комплексного переменного z = X + iy с метрикой
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed