Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
2.1. Лагранжев и лежандров край 125
2.2. Кольцо классов кобордизма 126
2.3. Векторные расслоения с тривиальной комплексификацией 126
2.4. Кобордизмы гладких многообразий 127
2.5. Группы лежандровых кобордизмов как гомотопические группы 128
2.6. Группы лагранжевых кобордизмов 129 § 3. Характеристические числа 130
3.1. Характеристические классы векторных расслоений 130
3.2. Характеристические числа классов кобордизма 131
3.3. Комплексы особенностей 132
3.4. Сосуществование особенностей 133 Литература 136 предисловие
Симплектическая геометрия — это математический аппарат таких областей физики, как классическая механика, геометрическая оптика и термодинамика. Всякий раз, когда уравнения теории могут быть получены из вариационного принщта, симплектическая геометрия проясняет и приводит в систему соотношения между входящими в теорию величинами. Симплектическая геометрия упрощает и делает обозримым устрашающий формальный аппарат гамильтоновой динамики и Ёариаци-онного исчисления таким же образом, как обычная геометрия линейных пространств сводит громоздкие координатные вычисления к небольшому числу простых основных принципов.
В настоящем обзоре изложены простейшие основные понятия симплектической геометрии. Приложения симплектической геометрии к механике более подробно обсуждаются в томе 3 данной серии, к теории интегрируемых систем и квантованию — в статьях А. А. Кириллова, Б. А. Дубровина, И. M.- Кричевера, •С. П. Новикова в этом томе.
7- Глава 1
ЛИНЕЙНАЯ СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ § 1. Симплектическое пространство
1.1. Кососкалярное произведение. Симплектической структурой или кососкалярным произведением в линейном пространстве называется невырожденная кососимметрическая билинейная форма. Невырожденность кососимметрической формы влечет четномерность пространства.
Симплектическая структура на плоскости — это форма площади. Прямая сумма п симплектических плоскостей имеет симплектическую структуру: кососкалярное произведение векторов равно сумме площадей проекций натянутого на них ориентированного параллеограмма на п координатных плоскостей.
Линейная «теорема Дарбу» (G. Darboux). Симплектические пространства одинаковой размерности симплекти-чески изоморфны, то есть существует сохраняющий кососкаляр-ные произведения изоморфизм между этими пространствами.
Следствие. Симплектическая структура в 2/г-мерном линейном пространстве в подходящих координатах (рх.....рп,
qx, ..., <7„) имеет вид р\АЧ\ + • ¦ -+PnAqn-
Такие координаты называются координатами Дарбу, а пространство R2ra с таким кососкалярным произведением — стандартным симплектическим пространством.
Примеры. 1) Мнимая часть эрмитовой формы задает симплектическую структуру. В координатах zk = pk +Y-1 qk в С" мнимая часть эрмитовой формы 2 zkzk' имеет вид — ^РиАЧк-
2) Прямая сумма линейного пространства со своим сопряженным V = Х*®Х снабжается канонической симплектической структурой со (~©л:, ц®у) = I (у) — П (х). Если (^1, ..., ^ — координаты в X, a (pv .... Рп) двойственные координаты в X*,
то <о = 2/7йл<7й-
Стандартная симплектическая структура в координатном
q_?
пространстве R2n выражается через матрицу й=(Еп где En- единичная nXn-матрица: со(и, w)=(Qu, w>. Здесь (v, w> = SvkWk — евклидово скалярное произведение в R2". Умножение на Q задает комплексную структуру в R2n, так как Q2 = -E2n.
1.2. Подпространства. Векторы v, v?V, для которых ю(и, w)= 0, называются косоортогональными. Для любого подпространства симплектического пространства определено еп> косоортогональное дополнение, которое, в силу невырожденности кососкалярного произведения, действительно имеет дополнительную размерность, но, в отличие от евклидова случая, мо-
8 жет пересекаться с исходным подпространством. Так, кососка-лярный квадрат любого вектора равен нулю, поэтому косоорто-гональное дополнение прямой — гиперплоскость, содержащая эту прямую. Обратно, косоортогональное дополнение к гиперплоскости — прямая, совпадающая с ядром ограничения сим-плектической структуры на эту гиперплоскость.
Если у подпространства евклидова пространства есть лишь один инвариант — размерность, то в симплектической геометрии, кроме размерности, существенен ранг ограничения симплектической структуры на подпространство. Этот инвариант тривиален только в случаях прямой и гиперплоскости. Общую ситуацию описывает.
Линейная «относительная теорема Дарбу». Подпространство ранга Ir и размерности 2r + k симлектическо-го пространства в подходящих координатах Дарбу задается уравнениями
<7r+ft+i= • • • —Цп = 0, Pr+1= • • • = Pn = 0.
Косоортогональное дополнение такого подпространства задается уравнениями q\ = ... =qr = 0, р\ = ... =pT+h=0 и пересекается с ним по ^-мерному ядру ограничения симплектической формы.
Подпространства, лежащие в своем косоортогональном дополнении (т. е. имеющие ранг 0), называются изотропными. Подпространства, содержащие свое косоортогональное дополнение, называются коизотропными. Подпространства, изотропные и коизотропные одновременно, называются лагранжевыми. Размерность лагранжевых подпространств равна половине размерности симплектического пространства. Лагранжевы подпространства— максимальные изотропные и минимальные коизотропные. Лагранжевы подпространства играют особую роль в симплектической геометрии.
