Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. ii
Начало иерархии симметрических функций на плоскости С" вблизи критической точки 0 выглядит *) следующим образом:
п+1 Тип Нормальная форма rrif mft cotlirn
2 Ift ±Ц 0 0 k- 1
3 I 0 0 0
3 II 0 0 1
3 IHsj ±Ц -I- аЦ, аф0 1 0 k
3 IV + XiX2 -(- аХ% 1 0 3
3 V — >2 >2 4
4 I 0 0 0
4 Hft + Xj-I-аЦ, аф0 1 0 k — 1
4 III + Xf + а\3 -f Ы1Х3, 2 1 2
4 IV — >2 >2 3
5 I + Xi 0 . 0 0
5 II 1 0 1
5 III — >4 >2 2
Здесь TTlf и Ttlh — числа модулей для функции и для ее нулевой гиперповерхности уровня (имеется в виду действие группы экви-вариантных диффеоморфизмов на пространстве ростков функций с критическим значением 0 в критической точке 0).
Диаграммы примыканий:
п =2 I1*- I2- ...
д=3 I-II-III2-IH3-...
IV-V
п = 4 I-II2-II3-...
Ш—IV л = 5 I-II—III
3°. Рассмотрим действие группы S (п) перестановок координат в пространстве С" с координатами (?, . . х„).
*) Согласно [93] и вычислениям В. В. Горюнова. § 17]
вещественные и краевые особенности
223
1 Группа симметрических (коммутирующих с действием S (п)) ростков диффеоморфизмов (С", 0) -> (С", 0) действует на пространстве ростков симметрических функций в критической точке 0 с критическим значением 0. Росток симметрической функции называется простим, если его А-струя пересекается с конечным (ограниченным при к —> со) числом орбит, т. е. если число модулей функции равно нулю.
Простые симметрические ростки функций в критической точке приводятся (действием группы симметрических диффеоморфизмов) к нормальным формам, которые мы здесь приведем в обозначениях В. И. Гуцу (1976). Пусть sp=x{+. . .+х%, Sp-
= (? — (S1M)V+. • •+ (х„ — (S1In)Yf а при п =2 X1jTX2 =у, Нормальные формы простых ростков имеют вид:
п Нормальная форма
>1 . «f+S». ?>2
2 уъ + ZtI, g> 1
2 ггу + уР, р>3
2 Z* +у"
3 в2г+S3
Все таблицы этого пункта основаны на работе [93]. Другие вопросы теории симметричных критических точек обсуждаются в [1661, [190], где указана и дальнейшая литература.
17.4. Краевые особенности. Под ростком многообразия с краем мы будем понимать росток пары (R", R"-1) (или С", С-1) в нуле. Мы собираемся классифицировать ростки функций с критическим значением 0 в критической точке 0 на краю многообразия относительно группы диффеоморфизмов, переводящих край в себя.
Теорема. Простіле критические точки функций на краю многообразия с краем исчерпываются, с точностью до эквивалентности, следующим списком ростков функций f (х, у) в точке х =у =0 краях—0:
Bk, &>2 Ck, ?>2
±хк± у2 ху±у7с ±хг + у3
Здесь под эквивалентностью функций разного числа переменных понимается стабильная эквивалентность на многообразии с краем (ср. п. 17.1).
Замечания. 1. Множество ростков в не простых критических точках имеет в пространстве функций с критической точкой 0 и критическим значением 0 коразмерность 3; в общих J 90
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
семействах функций, зависящих от I 4 параметров, все критические точки на краю — простые.
2. Коразмерности множеств ростков простых критических точек типов Bk, Ck, Fi в пространстве ростков с критической точкой 0 и критическим значением 0 равны ft — 2 (т. е. эти особенности впервые появляются как неустранимые в семействах функций, зависящих от ft — 1 параметра).
3. Особенности B2 и C2 эквивалентны.
4. Эта формулировка не была явно выписана в [93] потому, что в 1975 г. еще не была ясна связь краевых особенностей с группами Кокетера. Несколько первых краевых особенностей указано Питтом и Постоном в 1978 г. (см. [167]).
Доказательство приведенной теоремы и подробное обсуждение связи простых краевых особенностей с обозначаемыми теми же буквами группами, порожденными отражениями, простыми алгебрами Ли и диаграммами Дынкина приведено в [19]. В частности, в [19] определена форма пересечений краевой особенности и доказано, что простые особенности совпадают с эллиптическими.
Многие объекты имеют (неформальные) комплексные аналоги: например, комплексным аналогом группы Z2 является группа Z, комплексным аналогом симметрической группы S (га) — группа кос Артина Bn; комплексный аналог стягиваемых пространств — пространства К (тс, 1), теории Морса — теория Пикара—Лефшеца. Комплексным аналогом многообразия с краем F^O является многообразие F=Zi, т. е. двулистное накрытие исходного комплексного пространства, разветвленное вдоль края.
После перехода к двулистному накрытию функции на многообразии с краем превращаются в функции, симметричные относительно инволюции, меняющей знак одной из координат. Приведенный в п. 17.2 список нормальных форм простых симметричных функций для п =2 получается из списка простых краевых особенностей Bk, Ck, F1 подстановкой X=Zi (случай п— 3 отвечает, таким же образом, простой алгебре Ли G2)- Простые алгебры Ak, Dk и Ев, E7, E8 также можно включить в эту схему: им отвечают функции
Ak, к> 1 Dk, 4 Ея E7 Es ¦
+ + X УІ+УІ + х У? + УіУІ + X Уі + У 2 + X
Точка 0 не критическая для самой функции, но критическая для ее сужения на край, х=0.
