Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
q> 1
Здесь а и & — вещественные параметры.
Важнейшие примыкания-.
Замечание. Кратность ц точки минимума всегда нечетна. Диаграмма Ньютона функции в конечнократной точке минимума обладает следующими свойствами: 1) все ее вершины имеют только четные координаты, 2) диаграмма пересекает все оси координат.
Назовем главной частью аналитической функции сумму тех слагаемых ее ряда Тейлора, показатели которых принадлежат
*) В [31] приведены нормальные формы и для некоторых других серий, включая все особенности с /=16. J 90
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[гл. II
диаграмме Ньютона. Сумму слагаемых ряда /, показатели которых принадлежат данной грани о диаграммы, обозначим через f.
Главные части функций в точке минимума обладают следующим свойством: для каждой грани <з многочлен f всюду неотрицателен.
Если к тому же многочлены f не обращаются в нуль вне координатных плоскостей, то функция / в окрестности точки минимума удовлетворяет двусторонней оценке
cg<f<Cg, (*)
где g — сумма одночленов, показателями которых являются вершины диаграммы Ньютона^ с коэффициентами, равными 1. Обратно, из указанной оценки вытекает, что все f положительны вне координатных плоскостей. Оценка (*) выполняется для почти всех функций с фиксированной диаграммой Ньютона, имеющих точку минимума.
Чтобы точнее описать множество главных частей функций, имеющих точку минимума, рассмотрим пространство P многочленов, показатели которых принадлежат данной диаграмме (главными частями могут служить лишь те из этих многочленов, у которых отличны от нуля коэффициенты при одночленах, отвечающих вершинам диаграммы). Пространство многочленов P разбивается некоторой гиперповерхностью (гомеоморфной гиперплоскости) на две области. Если главная часть функции принадлежит первой области, то функция имеет точку минимума и удовлетворяет оценке (*). Если главная часть принадлежит второй области, то критическая точка в нуле заведомо не минимум.
Доказательства сформулированных в этом замечании теорем имеются в цитированной выше работе В. А. Васильева. Ср. также [28], [291.
Функции общего положения имеют лишь невырожденные минимумы. Вырождения неустранимы, однако, в семействах функций, зависящих от параметров.
Рассмотрим семейство гладких функций /х на замкнутом многообразии, зависящих от А-мерного параметра А. Функцией минимума семейства называется функция F (X) =DiinZ1 (х).
Функция минимума непрерывна, но, вообще говоря, не всюду дифференцируема (линия горизонта гладкого ландшафта может иметь изломы). Пример функции минимума — расстояние от точки области до ближайшей точки границы (поверхность кучи песка на лопате является графиком функции минимума). Ясно, что эта функция всегда имеет особенности. Знание особенностей функций минимума существенно в задачах вариационного исчисления, оптимального управления, теории игр и т. п.
Развитая выше теория позволяет перечислить особенности функций минимума семейств общего положения, зависящих от § 17]
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КРАЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
231
к ^ 10 параметров. Классификация проводится с точностью до R +-эквивалентности, т. е. с точностью до диффеоморфизмов пространства параметров и прибавления гладкой функции от параметров.
Например, функция минимума однопараметрического семейства общего положения в окрестности каждой особой точки эквивалентна — |Х |. Для двупараметрических семейств встречаются особенности трех видов, с нормальными формами —IX1I, — IX1I— 1^2+I Ij m^n (ж4+^!^2+^^). Пока размерность пространства параметров меньше 7, список нормальных форм конечен, а начиная с 7 параметров появляются модули.
Согласно JI. Н. Брызгаловой [28], [29], число v (к) нормальных форм дается таблицей
k I 1 2 3 4 5 6 >7
V (к) I 1 3 5 J 8 12 17 OO
Л. Н. Брызгалова нашла также все простые и устойчивые ростки функций минимума: с точностью до jR ^-эквивалентности они совпадают с особенностями функции минимума семейства многочленов X2r+X1X2r~а+. . .+л2г_2ж. Все особенности функций минимума семейств общего положения с /с < 7 параметрами просты и устойчивы.
Во всех изученных до сих пор случаях функция минимума семейства общего положения локально топологически R-эквивалентна гладкой функции и даже функции Морса; по В. И. Матову, это остается верным и при большем числе параметров.
17.3. Симметричные особенности. Рассмотрим голоморфную функцию, инвариантную относительно линейного действия компактной группы G в Cfc.
1°. Теорема. Каждая G-инвариантная голоморфная функция, имеющая в 0 невырожденную критическую точку с критическим значением Oi приводится к своей квадратичной части G-инвариантной (т. е. коммутирующей с действием G) заменой независимых переменных, биголоморфной в 0.
Аналогичная «эквивариантная лемма Морса» справедлива в вещественно-аналитическом и дифференцируемом случаях.
2°. Рассмотрим в пространстве C+1 с координатами Z0,Zn плоскость C= {z: z0+.. . + z„ = 0}. Группа S (п + 1) перестановок координат переводит эту плоскость в себя. Будем обозначать через X1, . . .,Xjj коэффициенты многочлена z"+1 + X1z"-1 + . . . . .. + Xn с корнями z0,..., zn. Это — базис в пространстве симметрических (т. е. S (п + 1)-инвариантных) функций на плоскости С". J 90
