Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
p. (/) = 12a — 4, m(/)>4A —3, c(U*ki0) = 8k — 2. 92ft. = 9 + axV + + г/V, 4а^Ъ\ a (a + 1 - 6)^0 =>
=>/€№,;
p. (/) > 12A — 3, m(/)>4A —3, c(lTPb) = 8A—1. 93й. i*j3kf+ xz2 + A2, a2 ^ 4 => f ? UQk;
p. (/)^ 12A; — 2, w(/)>4fe — 3, c(C7Qfc) = 8fc. 94?. 7*3fc/ = cp + xV + , a2 =^= a => f ? ?7i2fc;
^(/)^12^-2, w(/)>4ft — 3, с (UIljc) = 8k. 95ft. /;3fc/ = cp + X2JZfe =>/6 Cr-Sft,'
[a(/)= 12A— 1, m(/)>4A —3, с(17»*) = 8? + 1. 96ft. = T+ ^2 cry,*;
[x(/)>12A— 1, w(/)>4ft —3, с(UTk) = 8& -f- 1. Класс V.
97. /з/(х, у, z) = a?y=>f^ x2y + a (y, z)-fx?(z),
/,(a) = /3 (^)=0^98.
14* J 90
критические точки гладких функциЙ
[гл. ii
В теоремах 98 и 102 ср — один из 10 многочленов: z*+z3i/, z3y4-Zy, zy + zy3, z4+zу, Z4, zsy, zy, zy3, y4, 0.
98. / = ж2у + а(і/, z)-f-x?(z), /з/ = з?у => одно из четырех:
^ ж«/ да ^y + Z1 + az3y + bzy + zys, Д =^ 0, ab ф 9 ^ 99; да х2у -f- Z4 -f- bz3y -f- Z2I/2, oa=^4 (=> 100;
«x22/ + zV + azy + i/4, 4a3 + 27^0 t=> 101;
да ж2у -f- cp t=> 102.
99. z.f =z x2y + z4 + oz3y + bzy -+ zy3, Д ф 0 => / G Vli 0.
100. />y,^/ = a;2y-f-z4-f-&z3y-f-zy, o2^4 =>/e F1, p>0.
101. ,./ = a;2y -f z3y + az2i/2+i/4, 4а3+27^0=>/ Є V? p, p > 0.
102. = + ?=>[*(/) >17, m(/)> 3, c(/)>13.
103. /3/(Ж, у, z) = Z3=^(Z) >18, m (/) > 4, c(/)>13.
104. j3f(x, y, z) = 0 =>[*(/) >27, m(/)>l0, c(/)>16.
105. corank/>3 =>{i(/)>16, m(/)> 5, c(/)> 10.
16.3. Доказательства. Теоремы 1, 17 и 25 очевидны. Теоремы 6, 18, 26, 33, 59, 67, 74, 83, 88 доказываются методом поворачивания линейки Ньютона (ср. п. 11.2; более подробные доказательства имеются в [13]). Теоремы 3, 10, 13, 22, 29, 36, 47, 50, 52, 54, 56, 58, 63, 66, 70, 77, 82, 85, 90, 97, 98 устанавливают нормальные формы квазиоднородных особенностей; техника корней для нахождения этих форм описана в § 13 (более подробные доказательства имеются в [13]).
Метод § 13 сводит доказательства этих теорем к следующим геометрическим классификационным задачам:
JTs теоремы Серия Геометрическая задача
3 D Линейная классификация 3-форм в С®
10,22 «7, Z Аффинная классификадия троек точек в C1
13 X Линейная классификация 4-форм в C2
29 W Линейная классификация пар точек в C1
36 X Аффинная классификация четверок точек в C1
47 N Линейная классификация 5-форм в C2
50 P Линейная классификация 3-форм в C3
63 Q Аффинная классификация кубических кривых с конечной точкой возврата в C2
70 . S Аффинная классификация распавшихся кубических кривых, имеющих не менее двух конечных двойных точек в C2 § 16]
определитель особенностей
213
П родолжение
Геометрическая задача
Аффинная классификация кубических кривых в С2,
имеющих бесконечность простой касательной Аффинная классификация центрально-симметричных кубических кривых в C2 о ровно тремя точками на бесконечности Аффинная классификация кубических кривых с ровно
тремя точками на бесконечности в C2 Аффинная классификация многочленов степени < 4 от одной переменной в C1
Теорема 50 описывает изображенную на рис. 54 стратификацию 10-мерного пространства кубических форм по. особенностям (ср. [74]).
Теоремы 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 14, 19, 20, 21, 23, 27, 28, 30. 34, 35, 37, 48, 51, 60, 61, 62, 64, 68, 69, 71, 75, 76, 78, 84, 86,
Обозначение Коразмерность Кривая
pS О °<
1 Cx
R а, я г < »Ж
у т S, T 3 -б , Л
и и
V !/ 5 =H
Vt I/' 7 —
к" У" IO
Рис. 54.
89, 91, 99 — это следствия теоремы о нормальной форме полуква-зиоднородных особенностей (п. 12.6). Подробные доказательства см. із [13].
Теоремы 122, 15, 16, 53, 55 , 57 доказываются методом кроссвордов (§ 12), подробности см. в [13]. Теоремы 49, 102—105 также доказываются методами § 12.
Доказательства теорем 12? (к >2), 24, 31, 32, 38—46, 65, 72, 73, 79, 80, 81, 87, 92—96, 100, 101 основаны на спектральной последовательности (см. § 14; подробные вычисления — в [14]). J 90
критические точки гладких функций
[гл. ii
Доказательство теоремы о классификации простых особенностей.
1°. Всякая особенность либо принадлежит списку простых особенностей п. 15.1.0 (стр. 192),либо примыкает к одному из классов P8, X9, J10 (эти три класса мы будем называть огораживающими классами для простых особенностей).
Доказательство вытекает из теорем 1—5, 6i—Il1, 13, 14, 50, 51.
При этом теоремы IOi, 13 и 50 используются не целиком: нужен лишь первый случай в каждой из них.
2°. Модальности особенностей каждого из трех огораживающих классов не менее 1.
Это вытекает из того, что их внутренняя модальность равна единице. Геометрический смысл этого предложения таков: кубическая кривая в Ci32, четверка прямых, проходящих через нуль в С2, и три касающихся в точке параболы в C2 имеют модули (при действиях проективной группы, линейной группы и группы 2-струй диффеоморфизмов соответственно). Например, модуль четверки прямых — это двойное отношение.
3°. Особенности списка не примыкают к огораживающим. P8 имеет коранг 3, X9 эквивалентно функции двух переменных с нулевой 3-струей. Функции двух переменных в списке имеют коранг и ненулевую 3-струю, поэтому примыкания к P8 и
