Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
A, . . ., Z—классы стабильной эквивалентности ростков функций, определенные в § 15.
m(f)— модальность ростка / в 0.
с (J) — коразмерность страта р. = const ростка функции / в пространстве ростков функций с критической точкой 0 и критическим значением 0.
с (Ж) — коразмерность класса К в том же пространстве.
j{xmi)f — квазиструя / в 0, определенная мономами хт< (или соответствующий многочлен Тейлора) *).
*) Система п мономов (аз™4) от X1, . .., х„ с независимыми показателями -Ttii g Z" с: R" определяет гиперплоскость ГсК", F= {т: (а, т)=1}. Если все компоненты а< вектора а положительны, то а называется типом квазиоднородности, а число (а, т) — степенью монома аз™1. Многочлен ^fmPm квазиоднороден степени типа а, если (а, т) = d Vm: ІтФ 0.
Тип квазиоднородности определяет в алгебре С [[^1, ..., хп]] убывающую кольцевую фильтрацию A0 ID.. ¦¦
ЛЛ = (/: (a, Vm: fm Ф 0}.
Фактор-пространство A0IHJ j^d' называется пространством
квазиструй, определенных мономами (аз"4) (или определенных типом квазиоднородности а). При фиксированной системе координат квазиструи можно J 90
критические точки гладких функций [гл. ii
І{хті} f ^S— квазиоднородная эквивалентность струй или многочленов Тейлора.
j*, f — смысл этих обозначений для теорем 58—65, 66—81, 82—89, 98—102 объяснен перед первой теоремой каждой группы. Д — дискриминант. В теоремах 36, 37, 47, 48, 98, 99
Д = 4 (а3 + O3) + 27 — а%2 — 18ab. 16. 2. Определитель.
1. а (/) od => одно из четырех:
corank/^ 1 fr>2; = 2^3; = 3 ^ 50; >3|=>105.
2. corauk / < 1 => / ? Ak (к > 1). В теоремах 3—49 /GCffo:, г/]].
• . !2I = 0 => одно из четырех: ff ^ х2у + у3 (=> 4;
t=> 5;
«ж3 t=> 6l,' = 0 t=>13.
4. f/ = x2y + y3^/GZ)4.
5. f/ = а*у =>f?Dk(k> 4). В теоремах 6—9 число к ^i.
6ft. Jjj3j y,kf (X, у) = х3=> одно из четырех:
7V, ^fcH.,/ «a:3-+-z/3fc+1 t=>7fc,
+ l=> j^yik+j = X3 10fc+1.
7ft. J^ ^t / = ж3 + г/ЗА+1 =>ЇЄЕвк. 8fc. ^lfcfl/ = х3-|-=>/ 6 ?e*+i-9ft. / = + =>/6^6fc+2.
отождествить с многочленами, все мономы которых имеют порядок не выше
1 (т. е. показатели которых лежат на Г или с той же стороны от Г, что и 0).
Квазиоднородные диффеоморфизмы — это диффеоморфизмы С", сохраняющие градуировку алгебры С [^1, . . ., х„]. Группа Ли квазиоднородных диффеоморфизмов действует на пространствах квазиструй и на пространствах квазиоднородных многочленов. Квазиоднородная эквивалентность есть принадлежность одной орбите этого действия. § 16]
определитель особенностей
205
В теоремах і 0—12 число Wfc. J^ ySfc-, / = Xs => одно из трех:
Jaft ^f да Z3 + а*у + JZsfc1 4а3 + 27 ^ 0 |=> 1 Ifc;
t=> 12fc; l=>6ft.
1 lfc. ^f = Xs + axY + 4а3 + 27 ^= 0 => / Є /*, 0. 12*. ySfc/ = ее3 + aV => / 6 7fc> , (p > 0).
Серия X.
13. /з/(a;, y)~0=> одно яз шести:
74/ да a;4 + ах2^2 + а2 ^= 4 |=> 14; да a:1 -f- а:2г/2 l=> 15;
да ж2г/2 t=> 16;
даа:3^ l=> 17;
да a;4 t=> 25;
= 0 47.
14. )= + + a2^4=>/6Z9 = Z1>0=r2>4>4.
15. Uf = + ^V => / 6 ^1, , = Г2> t> ^ (p > 0).
16. /V = O=V =>/6^., = 7W ^ (P>5>0).
17. jj = xzy Jx3^sJ = ^ Ie1.
В теоремах 18—21 число IS2,. уз^+./ = xsy => одно из четырех:
/ лй xsi/ + i/3?+2 t=> 19j»; /,з,, W ^ a:sj/ + ху*р+г t=> 20p;
+ l=> 21 j»; ^3?+3 /= x^ У ^ 22j,+i.
1?. ^ft f = X3y-і- y^ => / e Z8?+5.
20p- Jx,,, xyVJ = x3y + ху2*"2 => / 6 Zep+6. 21p. = =>f?ZSp+7.
В теоремах 22—24 число 1. 22JP- y'pf = х3У => °ДН0 из трех:
W « У і** + Ьз?у» + г/П 463 + 27 ^ 0 |=> 23р;
даг/(х3 + хУ) t=> 24да;
да xsy »=> 18Р. 206
критические точки гладких функций
[ГЛ. II
2?- = + + 463 +27 о ^ze Vi,»-
2V J^ 9,P+j=У (Xs+з?</) => / ? zp_1§ г (г > OV
Серия W. 25. Д/ (ж, у) —Xі => Jxty ^f = Xi 26ь
В теоремах 26—34 число A^l. 26*. y<kf = ж4 => одно из трех:
Z«*4+?4*" t=> 27*.
a4+ *iT*+1t=> 28*.
К*, ху'Ъ+'f i=> 29*.
27ft. y,A+I / = ^-L =>/e PF12fc-
Ze., xy*+,f = ^4 + xj/3fc+1 => / Є FF127ct1. 29ft. xyA+<f = Xi =>одно из четырех:
L-, ,.*+>/ « ^ + + yih+\ S2 ^= 4 30л;
= 2;4 ь> 33ft.
30*. ^43/ X1 + bxhf^ -f ^25 t? + 4 =>/? FZfc 0.
= + *Vfc+1 => / ? [F,', (i > 0)..
32ft. = (X2 + y2k»)2 =>/eiF# , (i > 0).
33*. ]x</ = a;4 => одно из трех:
^fc+=/ ^a:4 + a;y3fc+2 f=> 34й;
Us*** + t=>35*; jXt, уЛ+з f — Xfk t=> 36/c+l .
34*- W = X4 + => / e RZ12fc4 ,.
3?- / = *4 + y4A+s
В теоремах 36—46 число к > 1. Серия Xk.
36*. Za., gtk_,f = Xі одно из пяти:
у.*/ ~ 2:4 + ^V + ^V2* + ^37c1 Д Ф 0, а&=^=9|=> 37*;
— ^2 (^a + ихук -f ,/к), a1 =^ 4 ^ 38?j
» я2 (х + y*f ^39й.
^ Xs (а: + /} ^40fcj
t> 26fc,
§ 16]
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСОБЕННОСТЕЙ
207
37fc. Jcctt ytkf = Zi + bx3yk + аа?у2к + хузк, А^0, ab^9=> f ? Xkt 0. 38fc. ixt>y<kf = x2{x> + axyk + y2k), а^ A^f QXlttf (р> 0). 39*. J^etJ = X4x + ykT=>feY*,, (1<»<г). 40*. jxti ytkf = X3 (х + ук) => / ~ Д/2, где
ykfl ^ X +ук, Jx3^f2 = X3 ^iilc.
В теоремах 41—44 і ^ 0, р ]> 0.
41*. ^3j уЗЙ/2 = ж3 одно из пяти:
/2 Є ^ecfc+o >=> 42*, /2 6 ^6(fc+<)+l 43*, i'> /2 Є #e<fc+<)+2 i>
