Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Сборка Уитни 3-определена в соответствии с тем, что размерность пространства-образа п равна 2. § 7] доказательство теоремы устойчивости
Ю5
Введем следующие обозначения:
0 = (Ax)" — ^-модуль вариаций ростка / [(1г)° — это свободный модуль с п образующими е(. = Bjdyi над алгеброй Ax «функций» от хг, ..., хт; его элементы — это «столбики» (O1,..., aj = Ea ei
K-G^)]-
M = (df/dXj, f.ej) — -4.л-подмодуль F-тривиальных вариаций (знаменатель в формуле для T из определения F-инфинитези-мальной устойчивости).
Ina. — максимальный идеал в Ax (состоит из всех «функций», обращающихся в нуль при х = 0).
Лемма 1. Если / — инфинитезимально устойчивый росток в нуле отображения в n-мерное пространство, то все вариации достаточно высокого порядка (а именно порядка п в нуле) тривиальны: m хвсМ,
Доказательство. Рассмотрим вектор-одночлен x*es — Составим цепочку е„, х. е„, х. х. es,. . ., Xi ... Xi е,. Мы получили п-\- 1 элемент в 9. Поскольку росток / инфинитезимально устойчив и, значит, F-инфинитезимально устойчив, climE Ь/М ^ п. Следовательно, найдется линейная комбинация с числовыми коэффициентами, среди которых есть ненулевые, такая, что
Coes + ClXiBt -f . . . + CllXii . . . Xi ев
Пусть сг —¦ первый ненулевой коэффициент. Вынося Х{ . . . X. е, за скобки, получаем х. . ¦ . x.^es?M и, следовательно, xles?M, что и требовалось доказать.
Определение. Росток в нуле отображения в л-мерное пространство называется почти V-инфинитезимально устойчивым (ПУИУ), если условие F-инфинитезимальной устойчивости. (VWV) выполняется С ТОЧНОСТЬЮ ДО членов (и+1)-ГОй порядка малости.
Таким образом, условие ПУИУ состоит в существовании для любой вариации а ростка / в нуле разложения
" я
(nFHy) a (X) = - h {Х) + 2 Si И U <*) + g сА -f г (х),
i=i
г е шГ10-
Лемма 2. Если / — YlVWW-росток в нуле отображения в n-мерное пространство, то все вариации порядка п в нуле тривиальны. т%ЪаМ. 104
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
Доказательство. Занумеруем все вектор-одночлены степени п: P1, . . ., Pjv. Для каждого вектор-одночлена степени п существует разложение (ПУИУ), в котором Cj=O:
Pp = mv + гя, тр?М, TjjGmr10 (*)
(это разложение строится, как в лемме 1, лишь M заменяется на M -{- m"+16).
Поскольку остаточный член г имеет порядок /2 + 1, его можно представить в виде линейной комбинации векторных одночленов степени п с коэффициентами первого порядка малости:
rp— 2?j,jpst Ppi4Cittta.. «
Теперь совокупность разложений (*) переписывается в виде матричного уравнения относительно столбца (р) из P1, . . ., рд-:
(Е — ?) (р) — (т)>
где (т) — столбец из mf, а р — матрица порядка NxN с элементами из Jna.. Обращая матрицу E—?, получаем Pp^M, так как все т принадлежат М. Лемма доказана. Лемма 3. (ПУИУ) => (УИУ).
Доказательство. Рассмотрим разложение (ПУИУ). По лемме 2 его остаточный член принадлежит M. Следовательно, член г в (ПУИУ) может быть уничтожен подходящим изменением коэффициентов h и gt, что и требовалось доказать.
Лемма 4. Инфинитезимальнал устойчивость ростка отображения в n-мерное пространство (п-\-\)-определена. Иными словами, если росток / в 0 инфинитезималъно устойчив u ср ? OlJ+2 б, то росток /+ ср в нуле инфинитезималъно устойчив.
Доказательство. (ИУ) => (УИУ), поэтому для всякой вариации а существует разложение
(УИУ) a(x) = -^h(x) + ^ gi (X) U (*) + 2 cA-
Заменяя / на / = /-)-?, сохраним коэффициенты h, gt и Ci. Получаем
«о*)=- й * и+2е* f ф+2 са -r ^
где г = 2 Sifi--Заметим, что г имеет (п -)- 1)-й порядок
малости (г ^ mS+16). Следовательно, мы получили для ростка / разложение (ПУИУ)/. По лемме 3 для ростка / строится разложение (УИУ)/, а по нему — искомое разложение (ИУ)/ (см. п. 6.6).
Доказательство теоремы. Пусть / — инфинитезимально устойчивый росток и <р ^ m?+26. Будем действовать гомотопическим § 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ Ю5
методом: рассмотрим fi = f-±-t<p, t ? [0,1]- Ищем зависящие от времени t диффеоморфизмы Ht (в прообразе) и Kt (в образе), для которых ftoHt-KiO f *). Этим диффеоморфизмам отвечают зависящие от времени векторные поля kt и Ai:
к, (Kt (у)) = dKt (y)(dt, ht [Hi (X)) = dHt (x)ldt.
Дифференцируя коммутативную диаграмму, получаем гомологическое уравнение
dt
щ {х) + /<Л IBt (*0 — kt IKt и {*))
(звездочкой обозначена производная ft при фиксированном ?)• Учитывая соотношение Kt о f = ft о Ht, приходим к соотношению, в котором и левая, и правая части вычисляются в точке Ht (х).
Поскольку это соотношение должно выполняться при любых X VL t, оно является тождеством, поэтому вместо аргумента Ht(x) можно поставить любую букву, например х. Таким образом, гомологическое уравнение принимает вид
«(*) = --& M*)+ */(/<(*)). (**)
Нужно найти решение (А, к) при а = ср. Уравнение (**) разрешимо при каждом t по лемме 1. Мы должны найти векторные поля ht и kt, гладко зависящие от t ? [0, 1] и обращающиеся в нуль в начале координат (х—0 для ht, у=0 для kt).
Начнем с гладкости по t. В доказательстве леммы 4 с помощью конструкций лемм 2 и 3 описано построение разложения (ИУ), пригодное для каждого t. Покажем, что все это построение гладко зависит от t. Имеется два опасных места:
