Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 3

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 129 >> Следующая


§ 1. Простейшие примеры

Здесь описана принадлежащая X. Уитни классификация особенностей гладких отображений пространств малых размерностей.

1.1. Критические точки функций. Точка х называется критической точкой функции f, если в этой точке производная функции / равна нулю.

Пример. Пусть /: R -> -> R — функция, заданная формулой у =х2. Точка 0 — критическая точка этой функции.

Критические точки функции делятся на критические точки общего положения, или невырожденные, и вырожденные критические точки.

Определение. Критическая точка гладкой функции называется невырожденной, если второй дифференциал функции в этой точке — невырожденная квадратичная форма.

Пример. Критическая точка 0 функции у =х2 невырождена, а критическая, точка 0 функции у =X3 вырождена (рис. 1).

Рассмотрим любую гладкую функцию, близкую (с производными) к функции у =х2. Ясно, что вблизи нуля эта функция будет иметь критическую точку, подобную критической точке функции у==х2. В этом смысле критическая точка функции у —Xі устойчива:

Рис. 1. 4

ПРЕДИСЛОВИЕ

и немного линейной алгебры и геометрии) *). Авторы старались строить изложение так, чтобы читатель мог пропускать места, оказавшиеся для него трудными, без большого ущерба для понимания дальнейшего. .

В настоящее время теория особенностей бурно развивается (ср., например, списки нерешенных задач в [15] и [94]), и мы не пытались охватить все многочисленные направления современных исследований по теории особенностей и ее приложениям (неполная библиография из примерно 500 работ имеется у Постона и Стюарта [167] и у Брискорна [101]).

Основу этой книги составил ряд спецкурсов, читавшихся на механико-математическом факультете МГУ в 1966—1978 гг. При подготовке книги были использованы записки лекций, составленные В. А. Васильевым, Е. Е. Ландис, А. Г. Хованским; А. Г. Хованским написан § 5. Авторы благодарны перечисленным лицам, а также участникам семинара по теории особенностей, помощью которых они широко пользовались, в особенности А. Г. Кушни-ренко, Е. И. Коркиной и В. И. Матову.

Комплексно-аналитические и алгебро-геометрические аспекты теории особенностей (монодромия, пересечения, асимптотики интегралов и смешанные структуры Ходжа) войдут в готовящуюся к изданию книгу «Особенности дифференцируемых отображений. Алгебро-топологические аспектну.

Ясенево, март 1979 г.

*) Читате ля-нематематика полезно предупредить о терминологии:

1)і многообразия — это многомерные обобщения кривых и поверхностей, а-; отображения — функций; диффеоморфизмы — это взаимно однозначные отображения, дифференцируемые вместе с обратными им;

г 2) преобразования множества — это взаимно однозначные отображения множества на себя; группа преобразований множества — это набор преобразований, содержащий наряду с каждым преобразованием обратное и наряду с каждыми двумя преобразованиями их произведение; группа — продукт аксиоматизации свойств групп преобразований;

3) алгебра есть продукт аксиоматизации свойств множества всех функций на многообразии (элементы алгебры, подобно функциям, можно сшп-дывать и умножать друг на друга и на числа, причем выполняются обычные правила ассоциативности, дистрибутивности и коммутативности; в алгебре отмечен элемент 1 со ;войсгаом 1/ = /);

4) модуль над алгеброй есть продукт аксиоматизации свойств множества всех векторных полей на многообразии (элементы модуля можно складывать между собой и умножать на элементы алгебры);

5) идеал в алгебре — это ее подмодуль над самой собой. Пример: в алгебре всех функций на многообразии функции, обращающиеся в нуль на данном подмногообразии, образуют идеал. ГЛАВА І ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Теория особенностей гладких отображений представляет собой далекое обобщение исследования функций одной переменной на максимум и минимум. Таким образом, особенности, о которых идет речь, связаны не с разрывами и полюсами, а с обращением в нуль некоторых производных или якобианов.

В настоящей главе вводятся основные понятия теории особенностей дифференцируемых отображений: особые точки, их локальные алгебры и другие инварианты; определяются понятия, связанные с устойчивостью, и приводится начало классификации особенностей.

§ 1. Простейшие примеры

Здесь описана принадлежащая X. Уитяи классификация особенностей гладких отображений пространств малых размерностей.

1.1. Критические точки функций. Точка х называется критической точкой функции /, если в этой точке производная функции / равна нулю.

Пример. Пусть f: R —> -*¦ R — функция, заданная формулой у =х2. Точка 0 — критическая точка этой функции.

Критические точки функции делятся на критические точки общего положения, или невырожденные, и вырожденные критические точки.

Определение. Критическая точка гладкой функции называется невырожденной, если второй дифференциал функции в этой точке — невырожденная квадратичная форма.

Пример. Критическая точка 0 функции у =х2 невырождена, а критическая, точка 0 функции у =X3 вырождена (рис. 1).

Рассмотрим любую гладкую функцию, близкую (с производными) к функции у =X2. Ясно, что вблизи нуля эта функция будет иметь критическую точку, подобную критической точке функции у В этом смысле критическая точка функции у —Xі устойчива:
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed