Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
В этой книге изложены начала «зоологии» особенностей дифференцируемых отображений. Эта теория — молодая отрасль анализа, занимающая в современной математике центральное положение: здесь пересекаются пути, ведущие от самых абстрактных отделов математики (алгебраическая и дифференциальная геометрия и топология, группы и алгебры Ли, комплексные многообразия, коммутативная алгебра и т. п.) к наиболее прикладным областям (дифференциальные уравнения и динамические системы, оптимальное управление, теория бифуркаций и катастроф, коротковолновые и перевальные асимптотики, геометрическая и волновая оптика).
Основные приложения теории особенностей заключаются в выделении и детальном исследовании в каждой ситуации небольшого набора наиболее часто встречающихся стандартных особенностей, которые только и могут быть у объектов общего положения: все более сложные особенности распадаются на простейшие при малом шевелении объекта. Мы приводим довольно полные списки, рисунки и определители таких простейших особенностей для целого ряда объектов (функций, отображений, многообразий, бифуркаций, каустик, волновых фронтов и т. д.), стараясь по возможности сократить читателю путь от исходных начал к приложениям. В соответствии с этим мы стремились изложить основные идеи, методы и результаты теории особенностей таким образом, чтобы читатель мог, не задерживаясь на обосновательной, теологической части теории, как можно быстрее научиться применять ее методы и результаты.
Особые усилия были приложены к тому, чтобы изложение основных идей и методов не заслонялось техническими деталями. G наибольшей подробностью рассматриваются наиболее фундаментальные и простые вопросы, в то время как изложение более специальных и трудных частей теории носит характер обзора.
У читателя настоящей книги предполагаются лишь очень небольшие математические познания (умение дифференцировать
1* 4
ПРЕДИСЛОВИЕ
и немного линейной алгебры и геометрии) *). Авторы старались строить изложение так, чтобы читатель мог пропускать места, оказавшиеся для него трудными, без большого ущерба для понимания дальнейшего. .
В настоящее время теория особенностей бурно развивается (ср., например, списки нерешенных задач в [15] и [94J), и мы не пытались охватить все многочисленные направления современных исследований по теории особенностей и ее приложениям (неполная библиография из примерно 500 работ имеется у Постона и Стюарта [167] и у Брискорна [101]).
Основу этой книги составил ряд спецкурсов, читавшихся на механико-математическом факультете МГУ в 1966—1978 гг. При подготовке книги были использованы записки лекций, составленные В. А. Васильевым, Е. Е. Ландис, А. Г. Хованским; А. Г. Хованским написан § 5. Авторы благодарны перечисленным лицам, а также участникам семинара по теории особенностей, помощью которых они широко пользовались, в особенности А. Г. Кушни-ренко, Е. Й. Коркиной и В. И. Матову.
Комплексно-аналитические и алгебро-геометрические аспекты теории особенностей (монодромия, пересечения, асимптотики интегралов и смешанные структуры Ходжа) войдут в готовящуюся к изданию книгу «Особенности дифференцируемых отображений. Алгебро-топологические аспекты);.
Ясенево, март 1979 г.
*)• Читателя-нематематика полезно предупредить о терминологии:
IV многообразия — это многомерные обобщения кривых и поверхностей, а. отображения — функций; диффеоморфизмы — это взаимно однозначные отображения, дифференцируемые вместе с обратными им;
- 2) преобразования множества — это взаимно однозначные отображения множества на себя; группа преобразований множества — это набор преобразований, содержащий наряду с каждым преобразованием обратное и наряду с каждыми двумя преобразованиями их произведение; группа — продукт аксиоматизации свойств групп преобразований;
3) алгебра есть продукт аксиоматизации свойств множества всех функций на многообразии (элементы алгебры, подобно функциям, можно склі-дывать и умножать друг на друга и на числа, причем выполняются обычные правила ассоциативности, дистрибутивности и коммутативности; в алгебре отмечен элемент 1 со свойством 1/ = /);
4) модуль над алгеброй есть продукт аксиоматизации свойств множества всех векторных полей на многообразии (элементы модуля можно складывать между собой и умножать на элементы алгебры);
5) идеал в алгебре — это ее подмодуль над самой собой. Пример: в алгебре всех функций на многообразии функции, обращающиеся в нуль на данном подмногообразии, образуют идеал. ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Теория особенностей гладких отображений представляет собой далекое обобщение исследования функций одной, переменной на максимум и минимум. Таким образом, особенности, о которых идет речь, связаны не с разрывами и полюсами, а с обращением в нуль некоторых производных или якобианов.
В настоящей главе вводятся основные понятия теории особенностей дифференцируемых отображений: особые точки, их локальные алгебры и другие инварианты; определяются понятия, связанные с устойчивостью, и приводится начало классификации особенностей.
