Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
22.6. Лагранжевы и лежандровы кобордизмы. Лагранжево многообразие фазового пространства описывает на уровне геометрической оптики волновое состояние в конфигурационном пространстве. Волновое состояние в области определяет волновое состояние на краю области. Мы приходим, таким образом, к понятию лагранжева края лагранжева многообразия.
Два лагранжевых иммерсированных подмногообразия пространств кокасательных расслоений называются лагранжево ко-бордантными, если их разность является лагранжевым краем иммерсированного лагранжева многообразия.
Простейшая ситуация, где встречаются лежандровы кобордизмы, состоит в следующем. Рассмотрим волновой фронт, распространяющийся в воздухе. Следы фронта на поверхности земли в разные моменты времени могут топологически различаться, но они (точнее, соответствующие им лежандровы многообразия) лежандрово кобордантны.
Из классов лагранжево (лежандрово) кобордантных иммерсированных многообразий строятся группы.
Группа классов ориентированного лагранжева кобордизма плоских ориентированных кривых изоморфна Z+R (инварианты — индекс Маслова и площадь).
Группа классов ориентированного лежандрова кобордизма ориентированных лежандровых кривых в многообразии 1-струй функций J1 (R, R) изоморфна Z. Образующей этой группы является класс кривой, проекция которой в многообразие 0-струй имеет вид бантика (восьмерки с заостренными вершинами).
Одномерный волновой фронт (ориентированный и вооруженный, т. е. трансверсально ориентированный) на плоскости или на сфере лежандрово кобордантен нескольким бантикам (точнее, кобордантны соответствующие лежандровы подмногообразия многообразия контактных элементов).
Группа классов лежандрова кобордизма ориентированных и вооруженных фронтов на проективной плоскости также изоморфна Z, но образующей является класс фронта с одной точкой возврата и одной точкой перегиба, у2 =X3 (бантик — удвоенная образующая).
Класс ориентированного вооруженного фронта на проективной плоскости определяется числом точек возврата с учетом знаков. Это число равно также числу точек перегиба: перегиб счита- § 22] БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
291
ется положительным, если кривая проходит точку перегиба, удаляясь от вооружающей нормали.
Дальнейшие сведения о лагранжевых и лежандровых кобор-дизмах. см. в [21], где приведены формальные определения и вычислены различные группы классов кобордизма фронтов на двумерных поверхностях.
В самое последнее время Я. М. Элиашберг свел вычисление групп лагранжевых и лежандровых кобордизмов к чисто гомотопической задаче. Например, группа классов ориентированного лея^андрова кобордизма лежандровых подмногообразий в J1 (Rra, R) изоморфна стабильной гомотопической группе
lim ^kink)' /с->со
где Ilc — тавтологическое расслоение над многообразием Грас-смана ориентированных лагранжевых плоскостей в R2fc, T — пространство Тома.
В. А. Васильев [221] построил характеристические классы на лагранжевых и лежандровых многообразиях, двойственные стратам классификации критических точек функций (индекс Маслова соответствует A2, есть пятимерный класс, соответствующий Ae или Ел, и т. д.). ЛИТЕРАТУРА
1. Алгебраические поверхности. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. LXXV. — M.: Наука, 1965.
2. А р н о л ь д В. И. Замечание о подготовительной теореме Вейерштрасса. — Функ. анализ, 1967, т. 1, вып. 3, с. 1—8.
3. А р н о л ь д В. И. Особенности гладких отображений. — УМН, 1968, т. 23, вып. 1, с. 3—44.
4. А р н о л ь д В. И. О матрицах, зависящих от параметров. — УМН, 1971, т. 26, вып. 2, с. 101—114.
5. А р н о л ь д В. И. Интегралы быстро осциллирующих функций и особенности проекций лагранжевых многообразий. — Функц. анализ, 1972, т. 6, вып. 3, с. 61—62.
6. А р н о л ь д В. И. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля A1c, D1,, Ek и лагранжевы особенности. — Функц. анализ, 1972, т. 6, вып. 4, с. 3—25.
7. Арнольд В. И. Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера. — УМН, 1973, т. 28, вып. 5, с. 17—44.
8. Арнольд В. И. Классификация унимодальных критических точек функций. — Функц. анализ, 1973, т. 7, вып. 3, с. 75—76
9. Арнольд В. И. Нормальные формы функций в окрестности вырожденных критических точек. — УМН, 1974, т. 29, вып. 2, с. 11—49.
10. Арнольд В. И. Критические точки функций и классификация каустик. — УМН, 1974, т. 29, вып. 3, с. 243—244.
И. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — M.: Наука, 1974.
12. Арнольд В. И. Контактные многообразия, лежандровы отображения и особенности волновых фронтов. — УМН, 1974, т. 29, вып. 4, с. 153—154.
13. Арнольд В. И. Критические точки гладких функций и их нормальные формы. — УМН, 1975, т. 30, вып. 5, с. 3—65.
14. Арнольд В. И. Спектральные последовательности для приведения функций к нормальным формам. — В сб.: «Задачи механики и математической физики». — M.: Наука, 1976, с. 7—20.
15. Арнольд В. И. Некоторые нерешенные задачи теории особенностей. Труды семинара С. JI. Соболева, 1976, № 1, с. 5—15.
