Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Недавно Дюфур доказал аналогичные теоремы для гладкого случая [112].
В голоморфной ситуации, несмотря на простую формальную нормальную форму, имеются функциональные модули, т. е. голоморфный тип ростка диаграммы зависит от произвольной голоморфной функции (С. М. Воронин [222]).
Для задачи о диаграммах
A^r IR
(h —¦ сборка Уитни, Z1 2 — трансверсальные расслоения) формальная нормальная форма имеет вид
h: уTl ¦ х\ -J- X1X2, jz2 = х2, Z1 = X1-J- х2, /2 = X1 х2.
Дюфур [111 ] доказал, что эта нормальная форма пригодна и в гладком случае. В голоморфной же ситуации, как показал С. М. Воронин, привести диаграмму к такой нормальной форме, вообще говоря, нельзя. Вопрос связан с проблемой сходимости нормальных форм для голоморфных отображений (С, 0) в себя с собственным числом 1, разлагающихся в произведение двух инволюций. Расходимость возникает поэтому уже для диаграммы С <r- С —> С, отображения которой имеют общую невырожденную критическую точку. 288
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК II ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. III
Формальные нормальные формы общих ростков диаграмм R M —S- N для обычной (не сильной) эквивалентности в случаях dim M=dim N=n <; 3 следующие (ср. [93], [16]):
Il h: M-*N f: М->E
1 IJ = X У = х- <> X, X-
2 U1 = Х1, У 2 = xZ 'Ji = xI, 'Jz = xZ 1/1 = zf 4~ X1X2, у2 =Z2 ^Ej , J I xI -jTxZ, xlixh xZ^xIxZjTxI + X1 + (?))
3 'Ji = xI, Уz = xz, Уз = хз Уi = xJ, IJz = X2, IJs = X3 Ух = х\-\- XlXi, JZ2 = X3, JZ3 = I3 ух = ххъх\~\- X3X1, IJz = Xz, У з = хз X1, +X X1JrXz, Х1 + х\ + х\, XoArX1Xz, Xi-VxlXz -(- х^ + хгх^ X1 +X3, X1+ ig + ср (уг (х), yz(x)), + ^icP (Уі (х), yz(x)) ±xi + 9 (у (х))
22.5. Классификация особенностей выпуклых оболочек. К исследованию лежандровых особенностей тесно примыкает задача об особенностях выпуклых оболочек поверхностей в линейном пространстве.
Теорема 1 (см. [57]). Для компактных поверхностей общего положения в R3 росток выпуклой оболочки в каждой точке локальным диффеоморфизмом объемлющего пространства приводится к одному из следующих ростков в нуле".
1) z = 0;
2) z = 0 при X^0, Z = Z2 при х~^0;
3) z = 0 при (х^О, г/<10); Z = X1 при (х'^0, у z = a~V при (у ^ 0, у ^ ах);
z = x2 -f- (а — 1 (х — у)2 при X у ах,
где а ]> 1, а (х, у, z) — координаты в R3.
Выпуклая оболочка в целом есть объединение конечного числа гладких развертывающихся поверхностей с краем или с углами, диффеоморфных треугольнику (T), квадрату (Q), кругу (S), полукругу (D) и цилиндру (С), а также конечного числа выпуклых поверхностей (U). Указанные в скобках числа поверхностей каж- § 22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
289
дого типа удовлетворяют соотношениям 3T—D =2Q, T-\-U-\-+S-Q > 1. І, -,
Теорема 2 (см. [76]). Для компактных кривых общего положения в R3 росток выпуклой оболочки в каждой точке локальным диффеоморфизмом объемлющего пространства приводится к одному из шести видов-.
1) z = 0;
2) z = 0 при z = x2 при х^О;
3) z = I X |;
4) у = 4и3-(- 2хи, z = Зи4-f-и2х, где 2м2 + а;>0 (іоборванный ласточкин хвост);
5) z = x2 при (х^О, у ^x); z = y2 при (у ^ 0, х<0);
Z = 0 при (я<0, 0);
6) Z^=X2 при X-j-у = 0; Z = X2 при —у);
Z = у2 при (0<г/<— х); z = 0 при (х^О, у ^ 0).
Классификация особенностей выпуклых оболочек многообразий размерности к в R" при больших значениях А и га не проведена. Согласно В. Д. Седых, модули имеются в точности при max (к, га—к—1) ^ 2. В случае 1 < к < га—3 заведомо имеются функциональные модули, являющиеся функциями от к переменных, а в случаях к=п—1 или га—2, га 5 — от переменных. В случае к=2, га=4 число модулей, по-видимому, равно 2. 9
Особенности выпуклых оболочек встречаются в теории оптимального управления. Рассмотрим, например, скорости выхода системы из фиксированной точки фазового пространства при всевозможных положениях рулей. Эти векторы образуют множество, называемое индикатрисой скоростей. Предположим, что индикатриса — гладкое, но не выпуклое многообразие. Тогда скорости выхода с учетом смешанных стратегий образуют выпуклую оболочку индикатрисы.
Множество достижимости цели определяется как множество точек фазового пространства, из которых можно добраться до цели за конечное время. Классификация особенностей выпуклых оболочек является одним из этапов исследования особенностей границы множества достижимости.
Рассмотрим, в частности, управляемую систему на двумерном замкнутом многообразии, заданную гладким полем индикатрис, и пусть цель — гладкая замкнутая кривая. А. А. Давыдов расклассифицировал особенности границы множества достижимости для полей индикатрис и целей общего положения. С точностью
19 В. И. Арнольд и др. 29О
306 ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
до локального диффеоморфизма они такие же, как особенности в нуле кривых z/=xasgna; и особенности образов кривых у= =(1+с Sgn х) I X |а при отображении «складка». Особенности этих видов встречаются устойчиво, а от всех более сложных особенностей границы множества достижимости можно избавиться малым шевелением поля индикатрис. В первом случае а=1, 2 или 3 [206].
