Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
285
двумерных сечений и неудачно выбранные трехмерные сечения (см., например, [167]).
Пример. Рассмотрим среду из невзаимодействующих частиц и предположим, что в начальный момент частица, находящаяся в точке х, имела скорость v (х). Движение частиц по инерции определяет отображение х ь-> x+tv (х). При малых t зі о отображение — диффеоморфизм (если V не слишком плохо ведет себя на бесконечности), но начиная с некоторого момента времени возникают особенности (частицы сталкиваются).
Согласно Я. Б. Зельдовичу, возникновение особенностей (сгущений частиц) в этой ситуации описывает начальную стадию образования галактик, причем начальное поле скоростей потенциально: y=grad S. Мы приходим к исследованию однопараметри-ческого семейства лагранжевых отображений х н> x-\-t dS/dx; сгущение происходит на каустиках.
Для S общего положения каустика возникает впервые в момент перестройки типа A3: F=x4+Xx2, ?=Х-[-Через малое время s после момента t0 рождения каустики она имеет вид линзы (или «летающей тарелочки») с близким к эллипсу ребром возврата; оси этого эллипса имеют при малых є порядок г і--, а толщина — порядок S3''2.
Я. Б. Зельдович получил эти результаты из следующих соображений. Критические точки в момент t — это точки, для которых det (E-\-t d257dx2)=0, т. е. точки, в которых d2Sldx? имеет собственное число X = —1 It. Рассмотрим собственное число как • (трехзначную) функцию от х. Для S общего положения минимальное значение этой функции соответствует невырожденному минимуму, поэтому при малых е критическое множество близко к эллипсоиду с осями порядка s'/>.
Направления ядер производной отображения в точках этого «эллипсоида» близки при малых е к направлению ядра производной в точке рождения особенности при s=0. Поэтому множество критических точек сужения отображения на «эллипсоид» близко к эллипсу, по которому эллипсоид пересекается диаметральной плоскостью.
На этом почти эллипсе отображение имеет особенность типа . сборки. Отсюда легко выводится приведенное выше описание «линзы» критических значений.
22.4. Классификация диаграмм отображений. Задачи о перестройках каустик и волновых фронтов эквивалентны задачам о классификации диаграмм отображений вида M -Д. N -Д- R, где h — лагранжево или лежандрово отображение. Задача о перестройках в общих однопараметрических семействах гладких отображений приводит к классификации таких же диаграмм для общих отображений h: M-+N. 286
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. ІІі
Теорема. Пусть h: R"->R"— отображение Уитни. Тогда для функции f общего положения росток диаграммы Rre -Д- Rm R в каждой точке сильно эквивалентен ростку в нуле, заданному формулами
h: Ij1 = Zf+1 + X2XS1-14- . . . +XvX1, у8 = х, (s = 2, . . ., п), f=±U2±yUi ± ¦¦¦ ±УІ либо І = у^+1 (1<р</г), f=±yi ± УІ± •¦• ±УІ либо f = y2 ([» = 1)
Доказательство следует из классификации перестроек фронтов, так как сохраняющие фронт A^ диффеоморфизмы й-поднимаемы (подробности см. в [93]).
При п ^ 3 отображение h общего положения имеет лишь уитне-евские особенности.
Следствие. Перестройки в однопараметрических семействах общего положения отображений пространств одинаковой размерности k ^ 2 сильно эквивалентны перестройкам, заданным ростками в нуле следующих отображений'.
h V = h (.х) f
0 у = X у -X2 У, ±У2 ±У
1 !/I = X1, ,J2 = X2 у I = xf, у2 = х2 IJl = X^Хгх2, IJ2-X2 'Ju ±УЇ±'Л г/2. ±Уі±'Л ±г/г
2 Vi = Xi, V^ = X2, у3 = х3 IJ1 = Xj, у2 = хг, JJ3 = X3 IJ1=Xf + X1X2, IJ2 = X2, IJ3=X3 У і = х[ + X2X21 + X3Xi, У г = Уз = х3 г/1. ±</?±г/|±г/1 г/2. ±Уі±УІ±УІ Уз, ±У2.±У'з ±2/2
Другие геометрические задачи приводят к классификации диаграмм отображений R J-M-^N.
Рассмотрим, например, задачу об огибающей однопараметри-ческого семейства гиперповерхностей в N = R". В зтом случае / — вспомогательное расслоение R" -> R, a h — отображение, вкладывающее слои расслоения f в объемлющее пространство R". Огибающая — множество критических значений отображения h. § 22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
287
Пример. Формулы h: Jz1 = Xf, уг = х2, / = X1-J-X2 задают семейство парабол г/х = (с—г/2)2 с общей касательной JZ1 = 0.
Теорема (Н. А. Никишин, 1975, см. [93]). Если h — отображение складки, то для f общего положения росток диаграммы
R в каждой точке складки формально эквивалентен
одному из следующих ростков в нуле:
h: JZ1 = Xf, JZ, = в, 2),
/ = X1 -J- Х„, Xn -J- X1Xn ± X12 + ... ± х2_х,
X1 + х| + ... + Ж2, X1X2 -J-
Пример. При п — 2 получается три нормальных формы: / = = X1 -(- X2, либо X1 -J- X2, либо X2 -J- X1X2 -J- Xf.
Для определенных этими формулами однопараметрических семейств плоских кривых получаем, соответственно: 1) общую точку огибающей; 2) точку срыва кривых семейства с огибающей при слиянии двух точек касания с огибающей («перестройка W -> С/»); 3) точку возврата кривой семейства на огибающей («перестройка у -> С/»); кривые семейства можно получить из зонтика Уитни в R3, пересекая его параллельными трансверсаль-ными плоскостями.
