Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. В. И. Закалюкин [56] распространил теорему о перестройках фронтов на случай любых квазиоднородных особенностей. 282
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
В квазиоднородном случае F-версальная деформация і?-верса-льна и может быть выбрана в виде миниверсальной деформации
F (х, X) = f (X) + \ег (*)+...+ ХЛ (х),
где ек— мономы; мы по-прежнему будем предполагать, что ех — моном наивысшей (квазиоднородной) степени. Выделим еще все диагональные мономы e<„ . . ., eik (квазиоднородная степень которых такая же, как у /), если они есть. Росток функции t общего положения в окрестности точки X = O пространства Rp- приводится сохраняющим бифуркационное множество нулей деформации F ростка f локальным диффеоморфизмом пространства R1*1 к виду ±X1-f а(Х,„ . . ., Xik).
Для деформаций с большим, чем р., числом параметров (X1, .. ., X , X1,..., хт) ответ имеет вид
+ X1+ а(Х<1,.. ., Xift) ± xf + . .. ± х? либо X1.
Доказательство основано на следующем описании модуля аналитических ростков векторных полей, касаюпщхся дискриминант-ного многообразия: это свободный модуль с р. образующими над алгеброй ростков функций от X в 0; образуюпщми являются р векторных полей
vi = Hp І , j (*) dId^j'
компоненты которых вычисляются из разложений
etF(х, X) = 2А,, (X, X) dFldxJ + Hpitj(>0 (X),
существующих по подготовительной теореме. (В случае простых особенностей образующие можно также описать как Виета-опу-скания градиентов базисных инвариантов, см. [93].)
22.3. Бифуркации каустик. В однопараметрических семействах лагранжевых отображений при некоторых значениях параметра происходят перестройки, так что на мгновение возникают каустики не общего положения. Их можно изучать при помощи пространства-времени, аналогично перестройкам фронтов.
Семейство мгновенных каустик зависящего от времени t лагранжева отображения можно рассматривать как гиперповерхность в пространстве-времени (прямом произведении пространства, где расположена мгновенная каустика, и оси времени). Эта гиперповерхность является каустикой лагранжева отображения в пространство-время.
Действительно, пусть мгновенное лагранжево отображение в момент t локально задается производящим семейством F1 (х, X) с параметром X из Z-мерного пространства. Тогда то же семейство функций от х, рассматриваемое как семейство с параметром (X, t) из Z+1-мерного пространства, задает лагранжево отображение в пространство-время, каустика которого — гиперповерх- § 22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
283
яость в пространстве-времени, составленная из мгновенных каустик. Мы будем называть эту гиперповерхность большой каустикой.
Для общих однопараметрических семейств лагранжевых отображений большая каустика имеет лишь стандартные особенности (во всяком случае в малых размерностях все эти особенности перечислены).
Перестройки каустик и их эквивалентность определяются
аналогично тому, как зто сделано выше для фронтов. Список
нормальных форм функций времени вычислен В. М. Закалюкиным
для случаев, когда большая каустика имеет особенности Aix
или Dn. н*
Большую каустику можно описать как множество критических значений отображения (х, X, х) ^ (y=dFIdx1 X, х), где
в случае A^ F= + x|i+1-f X1X*1-1 + . . . + Xpt^r3, ^R'".
в случае D^ F=xfx2± х?-1 + Vr2 + ¦ • • + Х Є К'Л~3> х € R'"
(размерность пространства-времени есть а—1 -\-т).
Обычной эквивалентностью перестроек росток функции времени общего положения можно привести в каждой точке к ростку в нуле следующей функции:
для ^ll Z = X1 либо Z = +X1 + х2 + ... +х®;
для D t = X1 либо Z = + X1 -j- y1 -f- аХ2 + х2 + ... + X^1
(при р. = 4 аХ2 нужно заменить на ау2, yk = OFfdxk).
Для сильной эквивалентности вторая формула в случае D усложняется:
t=±\ + PVl + Q±x\± ... ±х2,
где P = I^-O1X2+...+a X^1 ? = 6^+...+6^;, p. = 2v -}- 2 или 2v -f- 3; при р. = 4 аХ2 заменяется на ау2.
В общих однопараметрических семействах каустик в пространствах размерности Z, меньшей четырех, встречаются лишь перестройки, эквивалентные перечисленным перестройкам типов А Dfjl с [д.—2-\-т=1.
Например, общие перестройки каустик в трехмерном пространстве описываются следующими формулами:
Az: F = Xi-^-X1Xi, Z = X1 или +X1+ xf + х|;
Ai: F = xb-\- X1X3 + Х2ж2, Z = X1 или +X1 ± xf;
D1: F = X21X2 + х3 -f- X1Xf, t = X1 или +X1 -f- y1 -f- ау2 + х2;
A5: F = Xs-j- X1X4 + X2X3 -f Х3х2, Z = +X1;
Db: F = Xfaj2-I-Xl-I-X1X3-I-X2X2, Z = + X1 + y1 -f аХ2. - 284
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
На рис. 64, 65 изображены эти перестройки (мы приводим вид каустики при t = — є, ?=0 и і = + а для малых s).
Несмотря на значительное количество работ по «теории катастроф», изображения перестроек общего положения для каустик
Рис. 64.
Рис. 65.
в трехмерном пространстве в них, кажется, не публиковались. Эти изображения трехмерных сечений общего положения дают более ясное представление о каустиках A5 и D5, чем наборы § 22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
