Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Для нашей эквивалентности история прохождения фронта через фиксированные точки пространства у эквивалентных перестроек может быть различной, но фронт первой перестройки в каждый фиксированный момент времени диффеоморфен фронту второй в некоторый (вообще, другой) момент.
Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство фронтов общего положения. Большой фронт имеет лишь стандартные особенности (по меньшей мере для пространств небольших размерностей они перечислены). Следовательно, классификация перестроек в общих семействах фронтов сводится к классификации ростков функции на пространстве-времени в некритической точке относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих большой фронт.
Для небольших размерностей пространства особенности большого фронта связаны с простыми особенностями AD^, E^. Точнее, росток большого фронта диффеоморфен прямому произведению бифуркационного многообразия нулей функции соответствующего типа в базе Rі?-миниверсальной деформации на пространство Rm (пространство-время — это R11XRm).
Например, для A2 в трехмерном пространстве-времени большой фронт диффеоморфен цилиндру над полукубической параболой (так как бифуркационное множество нулей функции з? есть полукубическая парабола).
Таким образом, мы приходим к задаче о классификации неособых ростков гладких функций в нуле пространства Rp-XRm относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дискри-минантный цилиндр (прямое произведение бифуркационного многообразия нулей в R1*1 на R"1).
Выберем в качестве миниверсальных деформаций простых особенностей деформации вида F (х, X) = f (х) -j- 2Xse. (ж), где {<?;}—мономиальный базис локального кольца и ех имеет наивысшую квазиоднородную степень (например, для Aji F = -}--j- X1Xli-1 —J— ... —J— Xu). Координаты в Rm будем обозначать через (•:г,..., -Zm) (так что все коордгшаты в пространстве-времени — это 280
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
Определение. Специальной перестройкой фронта называется перестройка, для которой большой фронт есть описанный выше дискриминантный цилиндр, а функция времени имеет вид
t = +X1 ± Z21 ± ... ±zl либо i = tx.
Теорема. Перестройки в однопараметрических семействах общего положения фронтов в пространствах размерности I < 6 локально сильно эквивалентны росткам специальных перестроек в нуле, причем р.-\-т=1-\-1.
Описываемые этой теоремой перестройки фронтов в трехмерном пространстве изображены на рис. 63.
22.2. Перестройки фронтов и группы, порожденные отражениями. Рассмотрим в евклидовом пространстве Rp" неприводимую группу G, порожденную отражениями типов A,l, D^ или Ev соответственно (для А эта группа перестановок координат в гиперплоскости X1 -j— . - . -j— xv+1 = 0).
Группа действует и на комплексификации Clb пространства R'''. Рассмотрим многообразие ее орбит. Как известно, это пространство В изоморфно С11: координатами в нем служат базисные инварианты X1, . . ., X (для A^ это коэффициенты многочлена степени fl-j-1 C корнями (X1, . . ., Зу^}, в CJHWMe равными нулю).
Отображением Buema назовем отображение у: Clt —> В, сопоставляющее точке ее орбиту. Прообразом v*f функции /: 2? —> С при отображении Виета является симметрическая функция (ин- § 22] БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ 297
вариант) в С11. Функция v*X1 — инвариант наименьшей (второй) степени (он один, так как группа неприводима).
Большинство орбит состоит из I G I точек. Орбиты из I G I точек называются регулярными. Рассмотрим многообразие нерегулярных орбит. Легко видеть, что эта гиперповерхность в Cil диффеоморфна бифуркационной диаграмме нулей соответствующей особенности (например, в случае Aix это многообразие многочленов Xltn-I-X1X11-1H-. • -+Xfji с нулевым дискриминантом).
Диффеоморфизмы g: (€'•% 0)-*(О\ 0) и h: (В, 0)^(Я, 0) называются Виета-согласоеанными, если vo g = kov; в этом случае g называется поднятием h, a h — опусканием g.
Легко видеть, что поднимаемые диффеоморфизмы (ростки) совпадают с диффеоморфизмами, сохраняющими многообразие нерегулярных орбит* а опускаемые — с эквивариантными (т. е. коммутирующими с действием группы, порожденной отражениями). Для нас важно, что эквивариантные диффеоморфизмы опускаемы; это доказывается так.
Ясно, что эквивариантный диффеоморфизм индуцирует гомеоморфизм пространства орбит, регулярный на многообразии регулярных орбит; по теореме об устранимой особенности регулярность имеется и в остальных точках.
Доказательство теоремы о перестройках (в комплексной ситуации). Для общей невырожденной в нуле функции t: (В, 0) -> (С, 0) имеем dtIdhx =^ 0. В этом предположении инвариант v*t имеет невырожденный в 0 второй дифференциал. По эквивариантной лемме Морса (см. п. 17.3) v*t превращается в у* X1 эквивариантным диффеоморфизмом g: (О1, 0) -»• (Cfi-, 0). Опуская этот диффеоморфизм, убеждаемся в эквивалентности ростков t и X1 в нуле в группе диффеоморфизмов В, сохраняющих многообразие нерегулярных орбит. Это доказывает теорему в случае т=0.
В случае т 0 нужно сначала рассмотреть сужение t на ребро OxC'" дискриминантного цилиндра. Для функции t общего положения это сужение в каждой точке ребра либо регулярно (тогда t— tx), либо имеет невырожденную (морсовскую) критическую точку. По лемме Морса с параметрами функция t эквивалентна сумме невырожденной квадратичной формы от хн функции от X; последняя в случае общего положения эквивалентна X1 (как это доказано при разборе случая т=0). Тем самым теорема доказана в комплексной ситуации. В вещественно-аналитическом и вещественно-дифференцируемом случае теорема также верна (подробности см. в [93]).
