Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Лежандрова особенность A2 с двумерным фронтом определяется трехпараметрическим производящим семейством поверхностей
О = F(x) X1, X2, z)^.x3-)r\1x —z
с параметрами X1, X2, z (фронт — поверхность с ребром возврата).
2°. Лежандрова особенность Ф' (Ф унимодальная). Производящее семейство гиперповерхностей этой особенности с Z-мерным фронтом есть график производящего семейства функций для лагранжевой особенности Ф' отображений в С (Z р.—2), для которой функция и в 2° п. 21.7 тождественно равна нулю.
Пример. Лежандрова особенность 0Р° с' шестимерным фронтом задается семипараметрическим производящим семейством гиперповерхностей
о = х? -f X32 -f х% -f- X1X1 -f - X2X2 + X3X3 -f- X4X1X2 -f X5X1X3 -f- X6X2X3 — z.
3°. Лежандрова особенность Ф° с фронтом размерности Z > р. — 2 получается из определенной выше особенности Ф° с фронтом размерности р — 2 прямым умножением на €г"~р,+2. Производящее семейство гиперповерхностей задается формулой 0 = /(x)-f-+ Xje1 -j- . . . + V4-eP--22 (г+ !-мерный параметр (X1, . . ., I1, z,)).
Теорема. При Z <10 росток общего лежандрова отображения в l+1-мерное пространство в каждой точке лежандрово эквивалентен одному из ростков списка {Ф, 1Ir', 0°, 0%}, где Ф — простая или параболическая особенность с р. < Z+1 либо квазиоднородная исключительная особенность с р. < Z; 1F — параболическая особенность с р. < Z+2; Q — гиперболическая особенность с p. ^ Z+2, либо квазиоднородная исключительная особенность с p.<Z-f-l, либо неквазиоднородная исключительная особенность с р < і+2; O'ie встречается лишь при Z=IO. I 21] КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРлЙЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
275
В следующей таблице для 6 ^ Z ^ 10 указаны особенности, впервые появляющиеся на фронтах размерности Z. Индекс слева от буквы означает значение модуля, а, для гиперболических и исключительных особенностей (а=0 соответствует квазиоднородной особенности, а=1 — нёквазиоднородной).
S 7 со 9 10
А, Dn E1 п Ds Es 1^9 л, D9 7 • J 10 X9, 1? іП>. 1<??0 1*8,4 ^io Я10 Ло, l'?l iYg,6 і Zb iP°u, oQ%, i<?ii 1^8,6 iSJi, 4, 4 An Dil і'ї«. іЕЇІ іЩг, і Yg. 6 o^ii, X^2, ,CZO21 iVFjg І^ї». 0<?10> 0<?їі, 1% 1Щ, 6, lAg, 5. Oi, 0S?1. 1?, 1^,4,»
Таким образом, при Z^ 6 ростки общих лежандровых отображений с Z-мерными фронтами в некоторых точках лежандрово неустойчивы и имеют модули; число модулей остается конечным при Z^ 9 (в отличие от лагранжева случая, где функциональные модули появляются уже при 1=6). При Z> 10 ростки общих лежандровых отображений в C+1 имеют функциональные модули.
Простые устойчивые лежандровы ростки исчерпываются списком Alh, Dv,, Ee, E1, E8.
Доказательство. Пользуясь результатами исследования лагранжева случая, мы можем сразу взять в качестве производящих семейств гиперповерхностей для ростков общих лежандровых особенностей с Z-мерными фронтами графики производящих семейств ростков общих лагранжевых особенностей отображений в С.
Однако полученные лежандровы ростки с разными лагранже-выми модулями во многих случаях лежандрово эквивалентны друг другу. Мы должны, таким образом, выяснить, какие из графиков лагранжевых производящих семейств эквивалентны как семейста гиперповерхностей.
Начнем с классификации гиперповерхностей /=0. При переходе к новому отношению эквивалентности (F-эквивалентность вместо R +-эквивалентности) запас простых и параболических особенностей не меняется. Все гиперболические особенности У-эквивалентны особенностям с модулем а=1 (хр -\-уч -\-zr -\-axyz — ~ xPJryq-\-zr-\-xyz при р-1+?-1+'""1 < 1). Исключительные унимодальные особенности делятся на квазиоднородные (а=0) и не-
18* 276
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
квазиоднородные, последние F-эквивалентны особенностям с G=1 (например, En: x3jry'!Jraxya~rs-\-y'!Jrxya при a =^ 0), Мы получаем, таким образом, У-стратификацию пространства ростков функций в критической точке со следующими стратами:
Тип особенности / Коразмерность
Простые и параболические 1S1li ;t—I
ГиперболнЧзские и исключительные не- !1—1
квавиоднородные іФ^
Исключительные квазиоднородные o'I'u. V-
O16 10
Прочие 11
Дальнейшее доказательство аналогично рассмотрению лагранжева случая, со следующим изменением: в лежандровом случае функция и отнюдь не модуль. Покажем, что и можно обратить в нуль V-эквивалентностью.
Рассмотрим й-миниверсальную деформацию ростка / вида
F (X, X) = / {х) + Xl6l + . . . + Х^.
Уравнения F=O и EF=0, где E (0, 0) =^= 0, задают одно и то же семейство гиперповерхностей и одну лежандрову особенность. Вообще говоря, семейства функций F и EF не ^-эквивалентны. Однако семейство EF й-эквивалентно индуцированному из F. Индуцирующее отображение базы семейства в себя задает лежандрову эквивалентность, сохраняющую рассматриваемую лежандрову особенность. Таким образом, каждой функции E отвечает диффеоморфизм базы, поднимаемый на лежандрово многообразие. Все такие диффеоморфизмы базы образуют группу. Обозначим ее через G.
Пусть ср.: Bi -> С11 (? = 1,2) — два отображения в базу нашей деформации, индуцирующие семейства Fi (х, г) = F (х, (s)). Если отображения Cf1 и о>2 переводятся друг в друга элементом группы G и диффеоморфизмом B1 —> S2, то семейства гиперповерхностей Ft =O эквивалентны.
