Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
+ Ч + A + '-1? + 'k2X2 + }-з'Хй +
-j- X4X1X2 -j- X8X1X3 -j- XeX2X3 -j-u(X) X1X2X3. 272
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
Лагранжев тип этой особенности зависит, как от параметра, от функции шести переменных, и, являющейся «функциональным модулем».
Объединение всех лагранжевых ростков типа P° (со всевозможными а я и) имеет коразмерность 6 в пространстве ростков лагранжевых отображений.
3°. Лагранжева особенность O^e. Определение. Особенность OJ8 отображения в С10 задана производящим семейством, зависящим от 10-мерного параметра л, по формуле
F(x, A)=:/ + Vl + ¦ ¦ ¦ +4?) + ?7!+ • • • +В|Л.
где / — полуоднородная функция четырех переменных коранга 4 с невырожденной главной кубической частью в нуле; десять мономов et степеней 1 и 2 и пять мономов Ji степеней 3 и 4 порождают базис VttQf.
В этой формуле U1, . . ., щ — ростки гладких функций от А, обращающихся в нуль в начале координат. Таким образом, лагранжева особенность O0le отображения в С10 имеет модулями пять функций 10 переменных.
Теорема. При Z^ 10 росток общего лагранжева отображения в 1-мерное пространство в каждой точке лагранжево эквивалентен одному из ростков списка {Ф, ЧГ", Olile), где Ф — обозначение простой или унимодальной особенности с [jl^Z + 1, 'F — обозначение унимодальной особенности с fji^Z + 2.
В следующей таблице для 6 ^ Z ^ 10 указаны особенности, впервые появляющиеся в данной размерности Z (следует обратить внимание на то, что Ф при увеличении Z сохраняется, а у 1IT'" увеличивается т). Мы пользуемся обозначениям!! Га g r =/г+4,
4, r=~ "^r+5> T3 3 r= Pr+5, T12j р7 q —- Yp^ q, T3^ р s = Rp q.
6 7 8 9 10
л, Л ^lO A11
D7 Di Dw D11
E4 Ei J10 j10- ^11 J11. J12. ^12
х; -^Mli -^!(Ъ ^11. Y5, 5 ^-12. Y"e, 51 Y5i 6
Zn Zu, z;2, и-іг, W12
Р* Ps, р; Pa, Plo, <?1о PЮ' Pїї' Qjo, Q11 P11. P 12. Q11. <?12
R't, 4 Яі Ri 5 A4, 5. A;, в. Щ, 5. О
^1Ib 4, 4 ^>11. ^>12. ^4, 4,4' ^4,4,5
Таким образом, при I6 ростки общих лагранжевых отображений в С в некоторых точках лагранжево неустойчивы и имеют § 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
273
функциональные модули, являющиеся функциями от I переменных.
Простые устойчивые лагранжевы ростки исчерпываются списком A^1 D^ E6, E7, Ei.
Доказательство. Мы пользуемся редукцией к R+-классификации производящих семейств и указанной в гл. II стратификацией пространства ростков функций.
Предположим, что росток лагранжева отображения задан производящим семейством F, являющимся деформацией функции /. Эта деформация R +-эквивалентна индуцированной из R ^миниверсалъной деформации, т. е. эквивалентна деформации вида
F (х, е) = /(*) + T1 (в) в1 (х) + . . . + Vl (е) Vl (х), е G С.
По теореме трансверсальности, для лагранжевых отображений общего положения отображение ср трансверсально стратификации базы на страты ;j.=const. Следовательно, для простых / деформация F версальна; в этом случае особенность лагранжево эквивалентна соответствующей особенности простого типа Ф^, причем Z > fx—1.
Если / унимодальна, то отображение ср трансверсально оси X1 в базисе Д+-миниверсалъной деформации. В этом случае Cp1(S),..., <рл_2(®) можно принять за часть координат в пространстве параметров; обозначая эти координаты X1, . . ., X 2, мы получим семейство, ^-эквивалентное исходному:
F(x, е) = / (х) -J- Х1е1 -{-...-)- X^e^g -(- си (е) /, Z>a — 2.
Уравнения X1 = O, ., Xit 2 = O определяют подмногообразие коразмерности р. — 2 в базе С. Сужение функции ш на это подмногообразие для общих лагранжевых отображений является морсов-ской функцией.
Если е = 0 — некритическая точка этой функции, то можно принять си за координату X1; лагранжева особенность эквивалентна унимодальной Ф , —1. Если же точка критическая, то, по
лемме Морса с параметрами, tu приводится к виду
и (X1, ..... Kvr.,) ± х* ± . . . ± х?п, тп=1 — р. + 2,
т. е. лагранжева особенность эквивалентна Ф™. Случай / класса О% рассматривается аналогичным путем. Других особенностей при I ^ 10 не встретится по теореме трансверсальности.
Можно проверить, что функция и является модулем. Это видно из следующих соображений (другое доказательство см. в [55]):
1) график функции и является множеством критических значений индуцирующего отображения ср ((X, т) i-> (X, ш (А, т))).
18 в. И. Лрш)Л1,д и др. 274
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
2) образ точки е при индуцирующем отображении ср определен классом і?+-зквивалентности члена F (•, е), семейства F почти однозначно. ' ¦'
Последнее следует из того, что набор р. комплексных критических значений, рассматриваемых с точностью до общей аддитивной постоянной, вообще говоря определяет точку [А—1-мерной базы R +-миниверсальной деформации с точностью до конечного числа возможностей.
21.8. Классификация лежандровых особенностей. Лежандровы особенности классов Ф и Ф" определяются следующим образом. Пусть р. — кратность критической точки 0 функции / (как выше).
1°. Лежандрова особенность Ф. Производящее семейство гиперповерхностей этой особенности с Z-мерным фронтом есть график производящего семейства функций для лагранжевой особенности Ф отображений в С (Z > р.—1).
