Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
2. Деформация F функции / V-версалъна.
3. Отображение, сопоставляющее тройке (а, X, z) росток Ф (•, X, 2, а) в нуле, трансверсально V-орбите ростка / в нуле.
Доказательства теоремы и следствий 1—4 такие же, как в ла-гранжевом случае.
21.5. Описание фронтов. Теорема. Фронт лежандрова отображения, заданного производящим семейством гиперповерхностей F (х, X) =0, где F — деформация функции /, является бифуркационным множеством семейства, т. е. состоит из тех X, для которых гиперповерхность семейства [х\ F (х, Х)=0} особая. 270
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
Следствие. Фронт устойчивого голоморфного ростка лежандрова отображения есть росток (вообще говоря, особой) комплексной гиперповерхности, биголоморфно эквивалентной алгебраической.
В случае, когда задающая производящее семейство гиперповерхностей F=0 функция F является У-версальной деформацией квазиоднородного ростка / конечной кратности р,, можно сказать больше: комплексный фронт неприводим, имеет неособую нормализацию и является пространством ,а-листного разветвленного накрытия над fx—1-мерным пространством (базой і?+-версальной деформации) с ветвлением вдоль соответствующей каустики, причем группа этого накрытия — вся группа перестановок jj. листов.
Все это следует из результатов [42] о бифуркационных многообразиях в базе і?-версальной деформации. Действительно, для квазиоднородного ростка / принадлежит идеалу, натянутому на (df/dx'i), поэтому У-версальная деформация і?-версальна.
21.6. Классификация лежандровых особенностей в малых размерностях. Из предыдущего вытекает
Следствие. Ростки лежандровых отображений общего положения для лежандровых многообразий размерности п 6 в каждой точке устойчивы и принадлежат конечному числу классов лежандровой эквивалентности.
Эти классы соответствуют простым особенностям А , p. 1, j^h.' t1 ^ 4, Ev., для которых [д.—1 ^ п; производящее семейство является гиперповерхностью нулевого уровня і?-версальной деформации функции соответствующего типа.
Ростки лежандровых отображений многообразий размерности п ^ 6 Для открытого множества отображений в отдельных точках неустойчивы и имеют модули.
Ростки лежандровых отображений общего положения для многообразий размерности п <[ 6 в каждой точке эквивалентны росткам проекций (р, q, z) ь> (q, z) лежандровых многообразий
Pj = OStdqv q; =z—dSIdрр * = S(qr Pj) + (Pp q\y
где функции S даются таблицей следствия 2 п. 21.3.
Из этих формул следует, например, что фронты общего положения в трехмерном пространстве не имеют других особенностей, кроме ребер возврата (Л„) и особенностей типа «ласточкин хвост» Из)-
Классификация ростков общих лежандровых отображений многообразий размерностей, не превосходящих десяти, приведена ниже (в п. 21.8).
21.7. Классификация лагранжевых особенностей. Пусть /: (€А, 0) -> (С, 0) — росток гладкой функции в критической точке конечной кратности р.. Мы сопоставим ему несколько лагран- § 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
271
жевых особенностей. Пусть Ф — обозначение клас'са / в гл. II. Размерность лагранжева многообразия мы будем обозначать через I.
1°. Лагранжева особенность Ф. Рассмотрим і?+-миниверсаль-ную деформацию
F (х, X) = / (х) + Xa + . . . + Vxep^1
(мономы ev • • -, е х порождают С-базис линейного пространства mQf = m/(df[dx), где ш — пространство функций, обращающихся в нуль в начале координат).
Деформацию F можно считать /-параметрической при любом Z ^ fj.—1 с параметром X. Росток этой деформации в нуле является производящим семейством ростка лагранжева отображения в Cz.
Определение. Лагранжевой особенностью типа Ф в С, Z ^ р.—1, называется особенность, заданная построенным производящим семейством F.
Пример. F (х, X1, X2) =X3+/^ задает двумерную особенность типа A2 (складку на плоскости).
2°. Лагранжева особенность Ф*. Предположим, что / — одна з унимодальных особенностей (см. гл. II). В этом слу-чае мономы Єі выберем так, что росток страта ;j.=const в базе R +-миниверсальной деформации F есть росток оси X1 в нуле.
Для этого в (полу)квазиоднородном случае достаточно взять в качестве е X моном J наивысшей (квази)степени, а в случае TPtq>r=axyz-\-xp-\-yq-\-zr выбрать J=xyz. [Моном J порождает в Qf аннулятор максимального идеала; его класс в Qj пропорционален классу гессиана det (d2f/dx?).]
Определение. Лагранжевой особенностью Ф* в С (Z ^ -і — 2) называется особенность, заданная ростком в нуле производящего семейства с Z = [x—2-}-т параметрами X1,..., X^2, -?,..., zm (т 0) по формуле
F (х; X, т) = / (х) -f ХА -f ... + >v_2e(i_a + и>/,
где (I) = U(X1,. . ., X 2) + -cf ± . .. ± а и — росток гладкой функции, равной 0 в начале координат. Особенность Ф" отображений в пространство фиксированной размерности jj. — 2 -f-т мы будем обозначать через Ф'" (так что точка в Ф" означает число квадратов в нормальной форме).
11 р и м е р. Пусть / = X3 -f- ж3 -}- xjj + UX1X2X3 — параболическая особенность класса аР9. Лагранжева особенность аР% отображения шестимерных многообразий задается производящим семейством
