Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
особенности каустик И волновых фронтов [гл. ІІі
при п >5 еще As: S = р] + q2p] -f- дар[ -f- q^p'l -f qbp\, De: S = P1Pl ± pi + q3pt + qtp{ + Or0Pl E6: S = P31 ± p* -f q3pfp2 -f q4plP2 + qspf.
Следствие 3. Каустики общего положения на плоскости не имеют других особенностей, кроме точек возврата, соответ-
ствующих лагранжевым особенностям A3. В трехмерном пространстве каустики общего положения не имеют других особенностей, кроме ребер возврата (А н) (рис. 55) ласточкиных хвостов (/I4) (рис. 56) и точечных особенностей двух типов, соответствующих двум вещественным формам D4: кошелька и пирамида (рис. 57).
Разумеется, кроме этих особенностей возможны также транс-версальные пересечения различных ветвей каустик друг с другом.
В настоящее время классификадия лагранжевых особенноетей общего положения доведена до случая многообразий размерности 10. При этом модули появляются, начиная с размерности 6, в бесконечном количестве: нормальные формы содержат произвольные функции, являющиеся инвариантами (функциональные модули). Список нормальных форм общих лагранжевых особенностей отображений пространств, размерность которых не превосходит 10, приведен ниже (в п. 21.7).
Рис. 55.
Рис. 56.
Рис. 57. § 21] классификация лагранжевых особенностей
267
Каустики можно определить для всех групп, порожденных отражениями, например для групп, соответствующих краевым особенностям Bk, Ck, Fi. Эти каустики (точнее, их части) являются особенностями асимптотик интегралов вида
Ik (X) = Г -L ср (х, X) dXl... dxn, h -> о,
для фазовых функций F, зависящих общим образом от не слиш-
Рис. 61.
На рис. 60 изображены линии особенностей асимптотик в случае двух параметров, а на рис. 61 и. 62 — в случае трех параметров. 268
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. ІІі
21.4. Лежандрова устойчивость. Определение лежандровой устойчивости лежандровых отображений и ростков повторяет определения в лагранжевом случае, с заменой слова «лагранжев» на «лежандров».
Теорема. Росток лежандрова отображения, заданного производящим семейством гиперповерхностей F (х, Х)=0 с параметром X, лежандрово устойчив, если и только если деформация F функции / (где / (х) = F (х, 0)) V-версальна.
Здесь предполагается, что F=O — неособое уравнение гиперповерхности; по поводу У-вер-сальности см. § 8 гл. I.
Следствие 1. Росток в нуле лежандрова отображения, заданного производящим семейством гиперповерхностей F(x, а) -= 0, Рис. 62. X XgR', с параметром X,
лежандрово у стойте, если и только если классы ростков функций {gx,---,gt (gt (х) = OFjdxi | а — 0)} порождают линейное пространство
Qf = R [[S1, • - .,X1Mdfldx1, ..., df jdxlc, /),
где f (X)==F (х, 0).
Следствие 2. Всякий устойчивый росток лежандрова отображения записывается в подходящей системе координат при помощи производящей функции вида
S(qj, Pj) = f{Pj) + (9I' Sj [Pj)),
где {pj, /?/} и Igi, і ? I) порождают Qf над R, причем число элементов множества патологических аргументов, J, равно размерности ядра производной отображения в нуле.
Здесь лежандрово многообразие задается уравнениями
P1=ZdSIdqv qj= —dS/dpj, z = S [qv Pj) + (pJt
лежандрово расслоение (p, q, z)i->(g, z).
Пример. Пусть f = p\, / = {1}, / = {2,..., n). Тогда Z = = n>l, S = pi\. Отображение задается формулой
(P1, q2, . . ., q„)^(~ Зр?, g2, q„, z = —2 pf). Для одномерного лежандрова многообразия (п=1) фронт — плоская кривая с точкой возврата. Таким образом, в отличие от плоских кривых общего положения, фронты лежандровых отображений общего по- § 21] КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
269
ложения могут иметь неустранимые малым шевелением в классе фронтов особенности: точки возврата (еще одно проявление общего принципа — особость притягивает особенности). Других особенностей кривые, являющиеся фронтами лежандровых ростков общего положения, не имеют.
Следствие 3. Фронты устойчивых ростков лежандровых отображений диффеоморфньъ графикам обобщенных преобразований Лежандра гладких функций вида
S (P) = / (P) + 2 (A + ^ {Pj))\ 1Є
где {g;} — ростки, порождающие вместе с 1 и {р^, j g J) линейное пространство алгебры R U_Pj]]j(dfldpj, /), /?/, причем число элементов J можно взять равным корангу (размерности ядра производной лежандрова отображения в нуле).
Пример 1. / = {1}, I = 0 , /(P1) = P^, S = f. График преобразования Лежандра — полукубическая парабола.
Пример 2. / = (1), / = {2}, '/(Pi) = /* 5 = р1 + (р2 + plf. График преобразования Лежандра имеет особую точку типа «ласточкин хвост» (как нетрудно убедиться).
Рассмотрим росток в нуле лежандрова отображения, заданный производящей функцией S (CJi, Pj) по обычным формулам
Pj = dSIdq1, Qj= dS/dpj, z = S+(Pj, q^ (p, q, z)^(q, z).
Рассмотрим еще ростки в 0 следующих функций: F(x, X, z) = S(lj, яг) + <Х/, x> + z, Ф (х, X, z, a) = F (х + а, X, z), f(x) = F(x, 0, 0).
Предположим, что / имеет в 0 ноль не ниже второго порядка.
Следствие 4. Следующие условия эквивалентны:
1. Рассматриваемый росток лежандрово устойчив.
