Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
г = /(s)-2X^1(S)-24/4 +2V/' i^1' /67>
т. е. /^"-эквивалентно производящему семейству F0 (х, X) = / (х) -j-+ 2 ' iSi (х) + 2 '-/xP построенному по производящей функции следствия 2.
Замечание. Производящее семейство, построенное по исходной производящей функции, имеет ббльшее число переменных:
F (х, X) = / (Sj) + 2 {xt + gt (X7))* + <х, Х>. Оно стабильно Д+-эквивалентно F0 (указание: положить Ui = Xi -J-
Il р и м е р. Градиентные складки и сборки задаются ростками в нуле функций S — P31 + P21 ± . . . ±pl, S = ZptlJr (р2 -)- plf ± ± Pj + • ¦ ¦ ± РІ, г=1 или —1. Лагранжев тип этих особенностей не зависит от выбора знаков +, но s = 1 и —і отвечают лагранжево неэквивалентные градиентные отображения.
Рассмотрим росток в нуле лагранжева отображения, заданного производящей функцией S [qz, Pj) по обычным формулам
P1=ZdSjdqj, qj — —d Sjdpjt (p,q)*+q. 264
особенности каустик и волновых фронтов [гл. ІІі
Рассмотрим еще ростки в нуле следующих функций: F(x, X) = 5 (Xj, z) + <x./, а», Ф (X, X, a) = F (х -f- а, X), f(x) = F(x, 0).
Предположим, что / имеет в нуле нуль не ниже второго порядка.
Следствие 4. Следующие условия эквивалентны:
1. Рассматриваемый росток лагранжево устойчив.
2. Деформация F функции / В+-версалъна.
3. Отображение, сопоставляющее паре (а, X) росток Ф (•, X, а) е нуле, трансверсально R +-орбите ростка / е нуле.
21.2. Описание каустик.
Теорема. Каустика лагранжева отображения, заданного производящим семейством F, являющимся деформацией функции /, является компонентой бифуркационного множества функций, образованной значениями параметра, которым отвечают в семействе функции с вырожденными (не морсовскими) критическими точками.
Само лагранжево отображение лево-право эквивалентно проектированию критического множества (множества всех критических точек всех функций семейства) на пространство параметров.
Доказательство непосредственно вытекает из определений.
Пусть теперь / ^ in2 — функция с конечнократной критической точкой 0 с нулем не ниже второго порядка в начале координат. Рассмотрим трансверсаль T в ш2 к і?-орбите ростка / в нуле как деформацию ростка /. Эта деформация, как и всякая, индуцирована из версальной при некотором отображении трансвер-сали в базу і?-миниверсальной деформации, ср: T -> В. Размерность В равна кратности jj. особой точки / в нуле, а размерность T равна fj-—1.
Мы предположим, что /?-вереальная деформация выбрана вида F(x, \) = F(x, X1,..., X^1) + Xji,
так Что F —/?+-миниверсальная деформация. Проекция X (X1, . . . - . ., X1) определяет отображение тс: В -> Л, где Л — база і?+-мини-версальной деформации.
Теорема. Устойчивый росток лагранжева отображения лево-право эквивалентен ростку отображения тсс ср: T —>¦ А для подходящей функции /.
Для доказательства достаточно применить предыдущую конструкцию в случае, когда F — производящее семейство данного ростка.
Следствие 1. Каустика устойчивого ростка голоморфного лагранжева отображения есть многообразие истинного ветвле- § 21]
классификация лагранжевых особенностей
265
ния разветвленного накрытия бифуркационного множества нулей над базой Я+-миниверсалъной деформации.
Действительно, бифуркационное множество нулей в базе і?-миниверсальной деформации есть как раз cp (T).
Следствие 2. Каустика устойчивого голоморфного ростка лагранжева отображения есть росток неприводимой (вообще говоря, особой) комплексной гиперповерхности, биголоморфно эквивалентной алгебраической.
Алгебраичность вытекает из того, что версальная деформация эквивалентна полиномиальной, а неприводимость следует из неприводимости многообразия вырожденных квадратичных форм.
21.3. Классификация лагранжевых особенностей в малых размерностях. Из доказанных теорем и классификации гл. II непосредственно вытекает
Следствие 1. Ростки лагранжевых отображений общего положения для многообразия размерности в каждой точке
устойчивы и принадлежат конечному числу классов лагранжввой эквивалентности.
Эти классы соответствуют простым особенностям А , ;->- 1, D^, [j- ^t 4, E (гл. II), для которых jj.—1 производящее
семейство лагранжева ростка является R +-версальной деформацией функции соответствующего типа.
Например, для п=1 единственная особенность — складка (.А2), при /2=2, кроме складок, появляются сборки (А3), при п=3 — еще A4 и D4, при п=4 добавляются A5 и D5, наконец, при п=5 добавляются Ati, De, E6.
Замечание. Ростки лагранжевых отображений многообразий размерности п ^ 6 для открытого множества отображений общего положения в отдельных точках неустойчивы и имеют модули. Это следует из того, что класс особенностей P8 (см. гл. II) имеет коразмерность с=6.
Следствие 2. Ростки лагранжевых отображений общего положения для многообразий размерностей п 6 в каждой точке эквивалентны росткам проекций (р, q)^* q лагранжевых многообразий pI = dSjdqI, q,=—dSjdpj, где
при 1 A2: S = pI; при п ^ 2 еще As: S =+р\-\-q^pf, при п^ 3 еще A4: S = р] + q2p\ + q3pf, Di: S = pi ± P1Pf + q3tf; при п >4 еще Аъ: S= ±Р? + ?2Р{ + q3Pl + Qttf, Di--S = P1P22 ±р'[ + qnp\ + q*Pi; 282
