Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
В этих терминах мы можем окончательно сформулировать предыдущие результаты так.
Теорема. Два ростка производящих семейств гиперповерхностей задают лежандрово эквивалентные ростки, если и только если эти семейства гиперповерхностей расслоенно стабильно эквивалентны.
Замечание. Проведенное выше исследование лежандро-вых особенностей основано на функторе контактизации, сопоставляющем ростку симплектического многообразия росток контактного многообразия на 1 большей размерности, лагранжевым подмногообразиям первого—лежандровы второго и т. д. Имеется также функтор симплектизации, сопоставляющий ростку контактного многообразия росток симплектического многообразия на 1 большей размерности. Попытка свести лежандровы особенности к лагранжевым путем симплектизации имеется в статье [55].
§ 21. Классификация лагранжевых и лежандровых
особенностей
Теория производящих семейств сводит исследование лагранжевых и лежандровых особенностей к исследованию особенностей семейств функций и гиперповерхностей. Развитый в предыдущих главах аппарат исследования особенностей функций дает поэтому значительную информацию о каустиках и фронтах. Ниже приведены результаты, полученные в этом направлении.
21.1. Лагранжева устойчивость.
Определение. Лагранжево отображение называется лагранжево устойчивым, если всякое близкое лагранжево отображение ему лагранжево эквивалентно (в некомпактном случае близость, как всегда, понимается в смысле топологии Уитни).
Росток лагранжева отображения в точке называется лагранжево устойчивым, если для всякого отображения с данным ростком существует такая окрестность в пространстве лагранжевых отображений (в топологии сходимости с конечным числом произ-в одных на каждом компакте) и такая окрестность исходной точки, что всякое принадлежащее первой окрестности лагранжево отображение имеет во второй окрестности такую точку, что росток э того отображения в этой точке лагранжево эквивалентен исход-н ому.
Из результатов гл. I и § 18 вытекает 262
особенности каустик и волновых фронтов [гл. ІІі
Теорема. Росток лагранжева отображения, заданного производящим семейством функций F (х, X) с параметром X, лагранжево устойчив, если и только если деформация F функции f=F(-, 0) Я+-версальна (или если однопараметрическое расширение F (х, Х)+Х0 является R-версалъной деформацией).
Следствие 1. Росток в нуле лагранжева отображения (х, X) і-> X, заданный лагранжевым многообразием
{X, х: Jx: dFjdx = 0, y. = dF/dl),
где
rank (д2Fjdx2, d2Fjdxdl)0 = di m {ж},
лагранжево устойчив, если и только если классы ростков функций (i, gx, ¦ ¦ ¦, gl(gi(x) = dFjdXi |x=0)j порождают линейное пространство
Qf=R [[X1,..., XkMdfjdX1,..., a f Idxt),
где
f (x) = F (х, 0).
Следствие 2. Всякий устойчивый росток лагранжева отображения записывается в подходящих координатах при помощи производящей функции вида
S {Яі' Pj) = / [PJ) + (ij, gr{Pjj/>
где {1, PjdfcJ), gi(i?J)j порождают Qf над R, причем число элементов множества патологических аргументов равно размерности ядра производной отображения в нуле.
Здесь лагранжево многообразие задается уравнениями P1 = =^dSjdq1, Qj = —dSjdpj, лагранжево расслоение — проектированием (р, q)*-*-q.
Доказательство. По формуле п. 19.3 производящее семейство, соответствующее S, имеет вид
F (X, X)= S (I1, X) + <Х„ Х> = / (X) + 2 ^fgt (*) + 2 ^JXJ
(i?I, 7 6/).
Применяя следствие 1, получаем условие устойчивости. Поскольку всякая Л+-версальная деформация і?"""-эквивалентна деформации указанного вида, следствие 2 доказано.
Пример 1. Пусть f(p) = pl, / = {1}, 1={2,...,п). Тогда га ^ 1, S = р\. Отображение задается формулой (^1, q.2, . . ., qn) ь->(—Зр2, q2,. . ., qn). Это — лагранжева складка. При п = 1 лагранжево отображение общего положения имеет лишь такие особенности. § 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
263
Пример 2. Пусть f(p) = p\, / = {!}, 1—{2,...,п). Тогда п~^2, S =Z -j-pt-j- pfq2. Отображение задается формулой (рх, q2, ... • • •> Яп) (+^pf- 2ргд.2, q2, . . дп). Это — лагранжева сборка в 0. Можно доказать, что при п = 2 лагранжевы отображения общего положения имеют лишь особенности, лагранжево эквивалентные росткам примеров 1 и 2 в нуле, т. е. лишь складки и сборки. Знак при р\ существен: в лагранжевом случае имеется две неэквивалентных сборки.
Следствие 3. Всякай устойчивый росток лагранжева отображения эквивалентен градиентному ростку (р>->—dS/dp), заданному ростком в нуле функции
s(P)=f{Pj) + 2[Pi+*,(/>,))*,
где gi—ростки, порождающие вместе ciu [pj (]' QJ)) линейное пространство градиентной алгебры
Qf = R [[PMdVdPj)' ^7'
причем число элементов J можно взять равным корангу (размерности ядра производной лагранжева отображения в нуле).
Доказательство. За координаты на нашем лагранжевом многообразии можно принять (pJt q^y В этих координатах многообразие задается производящей функцией S' [рй, q^ = S (р) -f--|~(рг, по формуле ^j=—dS'jdpj, Pj = dS'Idqj. Соответствующее S' производящее семейство имеет вид
