Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
261
Два семейства гиперповерхностей (во вспомогательных расслоениях с общей базой) называются стабильно расслоенно эквивалентнымиі, если они получаются из одного и того же семейства последовательностями удвоений (при каждом удвоении совершается переход от вспомогательного расслоения р (v)=w к вспомогательному расслоению р (и, v)=w).
В этих терминах мы можем окончательно сформулировать предыдущие результаты так.
Теорема. Два ростка производящих семейств гиперповерхностей задают лежандрово эквивалентные ростки, если и только если эти семейства гиперповерхностей расслоенно стабильно эквивалентны.
Замечание. Проведенное выше исследование лежандро-вых особенностей основано на функторе контактизации, сопоставляющем ростку симплектического многообразия росток контактного многообразия на 1 большей размерности, лагранжевым подмногообразиям первого—лежандровы второго и т. д. Имеется также функтор симплектизации, сопоставляющий ростку контактного многообразия росток симплектического многообразия на 1 большей размерности. Попытка свести лежандровы особенности к лагранжевым путем симплектизации имеется в статье [55].
§ 21. Классификация лагранжевых и лежандровых
особенностей
Теория производящих семейств сводит исследование лагранжевых и лежандровых особенностей к исследованию особенностей семейств функций и гиперповерхностей. Развитый в предыдущих главах аппарат исследования особенностей функций дает поэтому значительную информацию о каустиках и фронтах. Ниже приведены результаты, полученные в этом направлении.
21.1. Лагранжева устойчивость.
Определение. Лагранжево отображение называется лагранжево устойчивым, если всякое близкое лагранжево отображение ему лагранжево эквивалентно (в некомпактном случав близость, как всегда, понимается в смысле топологии Уитни).
Росток лагранжева отображения в точке называется лагранжево устойчивым, если для всякого отображения с данным ро-с тком существует такая окрестность в пространстве лагранжевых отображений (в топологии сходимости с конечным числом произ-в одных на каждом компакте) и такая окрестность исходной точки, что всякое принадлежащее первой окрестности лагранжево ото-б ражение имеет во второй окрестности такую точку, что росток э того отображения в этой точке лагранжево эквивалентен исход-н ому.
Из результатов гл. I и § 18 вытекает 260
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
бое производящее семейство), есть росток в точке нуль многообразия
\Р, д, z: Эх: dFJdx=O, p = dFjdq, z=F(x, q)}. (**)
При ЭТОМ нетрудно проверить, ЧТО выбор координат Z И <7!, . . . . . ., ql_1 в R' можно провести для фиксированного лежандрова ростка раз и навсегда, независимо от того, каким производящим семейством гиперповерхностей он будет задаваться: требуется лишь, чтобы начальная точка ростка имела координаты Z=0,
д= 0, P= 0.
Сравнивая формулу (**) с формулой (*) п. 19.1, мы приходим к следующему выводу.
Предложение. IIpou3eodHiqee семейство гиперповерхностей лежандрова ростка (**) является графиком производящего семейства функций (*) лагранжева ростка, получающегося из данного лежандрова ростка проектированием вдоль оси z. Обратно, график производящего семейства функций для этого лагранжева ростка является производящим семейством гиперповерхностей для исходного ростка. Размерность слоя вспомогательного расслоения в лежандровом случае минимальна, если и только если она мини-малыш в лагранжевом случае.
Действительно: 1) условия р-правильности как в лежандровом, так и в лагранжевом случае есть условие нормальной разрешимости уравнения dF Idx=O относительно х; 2) минимальная размерность слоя равна размерности ядра производной лагранжева (лежандрова) отображения. Эти размерности совпадают, так как вдоль лежандрова многообразия z — гладкая функция от (х, q).
Из предложения следует, что производящие функции F1, Fi для двух любых минимальных производящих семейств гиперповерхностей Z=F1 (х, q), Z=F2 (х, q) одного лежандрова ростка R^!-эквивалентны: F2 (х, q)=F1 (h (х, q), д)+Ф (q). Следовательно, их графики расслоенно эквивалентны (относительно расслоения р (х, q, z) = (q, z)). Это доказывает пункт 3°.
Замечание. То же доказательство позволяет описать все (не обязательно минимальные) производящие семейства гиперповерхностей для данного лежандрова ростка: это графики R+-стабильно эквивалентных производящих семейств соответствующего лагранжева ростка.
Определение. Пусть T CZ M — гладкая гиперповерхность с невырожденным уравнением /=0. YdeoenueM M с ветвлением вдоль Г называется гиперповерхность в прямом произведении AfxR, заданная уравнением u%=f (v), и ?jR, v [В комплексном случае это — двулистное разветвленное накрытие M с ветвлением вдоль Г; вещественный тип удвоения зависит от выбора стороны Г. ] § 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
261
Два семейства гиперповерхностей (во вспомогательных расслоениях с общей базой) называются стабильно расслоенно эквивалентными, если они получаются из одного и того же семейства последовательностями удвоений (при каждом удвоении совершается переход от вспомогательного расслоения р (v)=w к вспомогательному расслоению р (и, v)=w).
