Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
{/>, q, z: Зх: qj = —0Sjox, p1 = OSjOq1,
z = S(qIt х) + (х. qj), co = Pj\,
т. е. исходный лежандров росток. Теорема доказана.
Определение. Гиперповерхность большого пространства, через которую лежандров росток в пространстве проективного кокасательного расслоения базы вспомогательного расслоения р выражается, как в п. 2°, называется производящим семейством гиперповерхностей для этого лежандрова ростка (элементы § 20]
ЛЕЖАНДРОВЫ ОСОБЕННОСТИ
259
производящего семейства — это пересечения указанной гиперповерхности со слоями расслоения р; это, вообще говоря, особые гиперповерхности в слоях, но их объединение неособо).
Замечание. Гиперповерхность Г в пространстве расслоения р : Rfc"1"' —>¦ R' является минимальным производящим семейством, если сужение р на Г имеет трансверсальную особенность Ък в смысле § 2.
20.8. Лежандрова эквивалентность лежандровых особенностей и эквивалентность производящих семейств гиперповерхностей.
Определение. Расслоенной эквивалентностью производящих семейств гиперповерхностей F1, Га в пространстве расслоения р: Rft+'-»-R', р (х, У,) = X, называется расслоенный диффеоморфизм (ж, X) (h (х, X), ср (X)), переводящий T1 в Г2.
Теорема. 1°. Лежандровы ростки, определенные расслоенно эквивалентными производящими семействами гиперповерхностей, лежандрово эквивалентны.
2°. Все лежандровы ростки, лежандрово эквивалентные данному, допускают задание производящими семействами гиперповерхностей, расслоенно эквивалентными данному.
3°. Все производящие семейства гиперповерхностей для фиксированного лежандрова ростка, у которых размерность слоев вспомогательного расслоения имеет минимальное возможное значение, расслоенно эквивалентны.
Доказательство. 1°. Расслоенная эквивалентность семейств гиперповерхностей индуцирует лежандрову эквивалентность проективного кокасательного расслоения большого пространства, PT*Rk+l, сохраняющую смешанное пространство РА. Лежандрово многообразие, произведенное в PT*~Rk+l первой гиперповерхностью, переходит при этом в лежандрово многообразие, порожденное второй. Поэтому пересечение первого с PA переходит в пересечение второго с РА.
Расслоенная эквивалентность порождает диффеоморфизм базы R'. Индуцированная им лежандрова эквивалентность PT*Rl переводит проекцию первого пересечения в проекцию второго, что и доказывает утверждение 1°.
2°. Пусть дана лежандрова эквивалентность в PT*R', переводящая лежандров росток с производящим семейством гиперповерхностей Г CI Rfc"1"' в новый лежалдров росток.
Эта лежандрова эквивалентность индуцирована диффеоморфизмом базы, X !-> со (X). Отображение (х, X) >-»¦ (х, ср (X)) задает искомую расслоенную эквивалентность.
3°. Из формул доказательства предыдущей теоремы следует, что при введенных там обозначениях координат лежандров росток, заданный производящим семейством гиперповерхностей z=F (х, q) в точке 0 (а в таком виде локально записывается лю-
17* 260
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
бое производящее семейство), есть росток в точке нуль многообразия
{р, q, z: Зж: SFjdx=Q, p = dF/dq, z=F(x, q)}. (**)
При этом нетрудно проверить, что выбор координат z и qx, . . . . . ., qt_x в Нг можно провести для фиксированного лежандрова ростка раз и навсегда, независимо от того, каким производящим семейством гиперповерхностей он будет задаваться: требуется лишь, чтобы начальная точка ростка имела координаты z—0,
q=0, р=0.
Сравнивая формулу (**) с формулой (*) п. 19.1, мы приходим к следующему выводу.
Предло жение. Производящее семейство гиперповерхностей лежандрова ростка (**) является графиком производящего семейства функций (*) лагранжева ростка, получающегося из данного лежандрова ростка проектированием вдоль оси z. Обратно, график производящего семейства функций для этого лагранжева ростка является производящим семейством гиперповерхностей для исходного ростка. Размерность слоя вспомогательного расслоения в лежандровом случае минимальна, если и только если она минимальна в лагранжевом случае.
Действительно: 1) условия р-правильности как в лежандровом, так и в лагранжевом случае есть условие нормальной разрешимости уравнения dFIdx=O относительно х; 2) минимальная размерность слоя равна размерности ядра производной лагранжева (лежандрова) отображения. Эти размерности совпадают, так как вдоль лежандрова многообразия z — гладкая функция от (х, q).
Из предложения следует, что производящие функции F1, F2 для двух любых минимальных производящих семейств гиперповерхностей Z=F1 (х, q), Z=F2 (х, q) одного лежандрова ростка R ^-эквивалентны: F2 (х, q)=F1 (h (х, q), зО+Ф (q). Следовательно, их графики расслоенно эквивалентны (относительно расслоения р (X, q, z) = (q, z)). Это доказывает пункт 3°.
Замечание. То же доказательство позволяет описать все (не обязательно минимальные) производящие семейства гиперповерхностей для данного лежандрова ростка: это графики R+-стабильно эквивалентных производящих семейств соответствующего лагранжева ростка.
Определение. Пусть Y CZ M — гладкая гиперповерхность с невырожденным уравнением /=0. Удвоением M с ветвлением вдоль Г называется гиперповерхность в прямом произведении MxR, заданная уравнением u2=f (v), и GR, v ^1M.[В комплексном случае это — двулистное разветвленное накрытие M с ветвлением вдоль Г; вещественный тип удвоения зависит от выбора стороны Г. ] § 21] КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
