Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть р: Rft+' -> R' — «вспомогательное расслоение»; мы будем называть RA+' большим пространством, a R' — базой. Контактный элемент, к большому пространству либо пересекает касательную плоскость к слою вспомогательного расслоения по гиперплоскости, либо содержит ее целиком. Во втором случае контактный элемент называется р-особым. Все р-особые элементы образуют в многообразии всех контактных элементов P2"*Rft+' подмногообразие. Мы назовем'его смешанным пространством для вспомогательного расслоения р и"обозначим через РА. Многообразие PA естественно расслаивается над болыпим~*пространством (отображение расслоения определяется проекцией"р). Слой этого расслоения изоморфен кокасательному пространству" базы расслоения р (как многообразие всех контактных элементов'болыпого пространства, содержащих"фиксированный контактный элемент слоя расслоения р). ' ^
Определение. Лежандрово многообразие, заданное производящей гиперповерхностью, называется р-правилъным, если оно трансверсально смешанному пространству" PА вспомогательного расслояния р § 20]
лежандроБы особенности
257
Теорема. 1°. Естественная проекция пересечения р-правильного лежандрова многообразия со смешанным пространством PA вспомогательного расслоения р в пространство проективного кокасательного расслоения базы вспомогательного расслоения является иммерсией лежандрова многообразия.
2°. Всякий росток лежандрова подмногообразия проективного кокасательного расслоения базы получается этой конструкцией из некоторого порожденного производящей гиперповерхностью р-правильного лежандрова подмногообразия подходягцего вспомогательного расслоения р.
Доказательство 1°. Рассмотрим в точке пересечения следующие плоскости в касательном пространстве большого проективного расслоения:
Q — контактная гиперплоскость (размерности 2 (k-\-l) — 2);
а — касательная плоскость к пространству PA (размерности k+2l);
/ — касательная плоскость к слою расслоения PA -» PT* R (размерности к);
т — касательная плоскость к рассматриваемому лежандрову многообразию (размерности к+1—1).
Легко видеть, что а и / не лежат внутри Й, поэтому их пересечения с Q имеют размерности
dim (af~| 2) = A -j- 2Z — 1, dim (/f| 2) = А — 1.
Пространство S снабдим линейной симплектической структурой, заданной сужением дифференциала контактной формы на 2.
Утверждение. Пространства а П S и ff] Q являются косо-ортогопальными дополнениями друг друга.
Поскольку эти подпространства имеют в Q дополнительные размерности, достаточно доказать их косоортогональность.
Легко построить координаты (q, z), q Rm, m = Z—1, в R' и локальные координаты (р, q, z) в координаты (ж, q, z)
в Ri+' и локальные координаты (у, р; х, q, z) в PT*Rk+l так, что: 1) контактные формы имеют вид dz — pdq и а= dz — у dx — — pdq соответственно; 2) PA имеет уравнение у = 0; 3) расслоение PA РТ*И1 записывается в виде (р, х, q, q, z); 4) на плоскости 2 р = 0, у =0, —da = ^dyi Д ate. + ^dpi ^dqi. Пусть E— вектор из af|2, 7I— вектор из /Г|2. Во введенных обозначениях имеем
dy,® = 0, dp, (Є) = О, 4Ш = 0, dxj і (т)) = 0.
Следовательно, da($, tj) = 0, что и доказывает утверждение.
Мы будем обозначать косоортогональное дополнение в 2 знаком апп. Имеем апп (af| 2) = (/П 2). Поскольку т касается лежандрова многообразия, а|т = 0, da|x = 0, dim 2 = 2 dim т. Поэтому т с 2 и апп T = -C.
17 В. И. Арнольд и др. 258
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. ІІі
По условию t-j-(an?)=?i откуда (апп-с)П(аші (afi 2)) = 0. Итак, т Г)(/П = 0, следовательно, тП/ = 0. Это доказывает невырожденность проектирования из утверждения 1°. Лежан-дровость образа следует из того, что на PA у = 0, поэтому форма а сводится к dz — р dq.
Доказательство 2°. Будем пользоваться локальными координатами (р, q, z) б Pt*R?, введенными выше. Предположим, что дав лежандров росток в точке р = 0, q = 0, z = 0. Такой лежандров росток диффеоморфно проектируется в пространство с координатами (р, q) вдоль оси z. На образе dz = p dq, поэтому d(pdq) = 0. Итак, образ — лагранжев росток в координатном симплектическом пространстве R2('_1). Исходный лежандров росток
является графиком функции Z= j р dq да этом дагранжевом ростке.
Но всякий лагранжев росток задается одной из 2т производящих функций:
Pl = dSld4l, gj=—dS/dPj, If]J = 0, I\JJ = {\,...Л — \).
Следовательно, наш лежандров росток задается формулами вида P1 = QSjdq1, q3 = —dSjdPj, Z = S [qn Pj) -f (Pj, qJ/}.
Рассмотрим теперь вспомогательное расслоение р: —* R',
где к равно числу патологических аргументов (числу элементов множества J). Будем обозначать координаты в Rfc+i и Iv, как в 1°: р (X, q, z) = (q, z). Рассмотрим гиперповерхность в большом пространстве, заданную уравнением
2 = -5 (qj, х)+(х, qj).
Эта гиперповерхность производит лежандрово многообразие {у, р; х, q, z: у = OSjdx -f- qv pI = dS/dqr,
Pj = X, z = S Iq1, х) + (х, ?,/>}.
Это многообразие трансверсально смешанному пространству PA с уравнением у = 0, так как Oyjdqj — E. Проекция пересечения с PA в PTlrR1 есть
