Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Есть еще несколько важных свойств вещественных чисел. К ним прежде всего относится аксиома Архимеда (287-212 гг. до н.э.), он сформулировал ее для отрезков:
16 Vq Є М, а > 0 BnGN такое, что an > 1.
Доказательство. Если а > 1, то можно взять п = 1 и доказывать больше нечего. Если же 0 < а < 1, то
а = 0,0 .. .atkak+i ... , Otl = ¦•• = = 0, ak ф 0.
Тогда имеем
10*а = ak,ak+i ¦¦ • > ak > 1, т.е. свойство 16° имеет место при п = IOfc, что и требовалось доказать.
Свойство 17° сформулируем и докажем позже.
Рассмотрим теперь только неотрицательные числа. Договоримся, что для десятично-рациональных чисел рассматривается только запись, заканчивающаяся нулями. Число, стоящее перед запятой в десятичной записи числа х, будет целым, и оно называется целой частью х или антье от х. Пишется так: [я]. Число, стоящее после запятой, называется дробной частью х. Пишется так: {х}. Очевидно, [х] + {х} = х. Имеем, что [х] есть наибольшее целое, не превосходящее х. Это свойство берется в качестве определения значения символа [х] при отрицательных х.
Примеры: [1,5] = 1; [0,3] = 0; [-0,7] = -1; [-3,5] = -4.
Далее, при X < 0 символу {х} дробной части числа х мы приписываем значение: {х} — х — [х]. Таким образом, при всех х значение символа {х} удовлетворяет условию 0 < {х} < 1.
21Определим модуль, или абсолютную величину, числа х:
(X1 если X > О, —х, если X < О
(|ж| выражает расстояние от нуля до точки х на вещественной оси). Имеет место следующее неравенство (неравенство треугольника):
|а + 6|< |а| + |6|.
Докажем это неравенство. Имеем:
1) если ab > 0, то |а += |а| + |6|;
2) если ab < 0, то |а + b\ < jaj -I- j&|.
Множество M точек x, удовлетворяющих неравенствам: a < X < Ь, называется интервалом (пишут: M = (а,Ь)); а < X < b или а < X < b — полуинтервалом (M = (а, 6] или M -[а, 6));
а < X <Ь — отрезком или сегментом (М = [а, 6]); каждое из них называется промежутком.
Множество L точек ж, определяемое соответствующим условием, называется:
X < а или X > а — открытый луч (обозначения: L = (—оо,а) или Z = (a,+oo));
X < а или X > а — замкнутый луч (обозначения: L = (—оо,а] или L = [а, +оо)); а — вершина луча.
Здесь символ +оо читается плюс бесконечность, а символ —оо — минус бесконечность.Лекция 4
§ 4. ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Определение 1. Непустое множество А на вещественной оси IR называется ограниченным сверху, если существует число b ? Ж такое, что для всех а Є А выполнено неравенство a < b. Другими словами,
Va € А => a < b.
Число 6 называется верхней гранью множества А. У ограниченного сверху множества существует бесконечно много верхних граней, например 6+1, 6 + 2,5 и т.д.
Аналогично определяем нижнюю грань d непустого множества А:
Va Є А => d < а.
Непустое множество А называется ограниченным, если существует 6 > O1 такое, что для всех a € А имеем |а| < 6.
Множество В всех верхних граней 6 непустого ограниченного сверху множества А является ограниченным снизу. Действительно, каждая верхняя грань 6 E В удовлетворяет неравенству а < b при любом фиксированном а из множества А. Это и означает, что а есть нижняя грань для В,
Сформулируем теперь свойство полноты множества вещественных чисел Ж (свойство, упомянутое в лекции 3.)
17°. Для всякого непустого ограниченного сверху множества А множество В его верхних граней b содержит минимальный элемент 6', т.е. существует единственный элемент 6' Є В такой, что:
Ij 6' — верхняя грань множества А, т.е. для всех а Є Л имеем b' > a ;
2) b' — наименьший элемент множества В, т.е. для всех b ? В справедливо неравенство Ь' < 6.
Элемент 6' называется точной верхней гранью или супремумом множества А. Обозначение: 6' — sup А.
Прежде чем доказывать это свойство, следует сказать, что точно так же обстоит дело и с множеством нижних граней D ограниченного снизу множества А, а именно: существует единственный элемент d' Є D такой, что:
1) Va € А => d' < а;
2) Vd Є D =^ d' > d; d' = inf А (читается: точная нижняя грань, или инфимум).
•23Доказательство свойства 17°. Мы построим число Ь' конструктивно. Можно считать 0 € А, и тогда для всех b Є В имеем b > 0. Действительно, возьмем какое-нибудь аі Є А. Заметим, что для любой верхней грани b Є В выполнено неравенство 6 > a і, откуда
6-A1 > 0.
Теперь вместо множества А рассмотрим множество А' чисел вида a — ai. Если нам удастся доказать, что существует число b[ = SupA', то тогда очевидно, что будет существовать и число 6' = sup А, причем
6' = Ь[ + а\.
Договоримся десятично-рациональные числа записывать только с нулями на бесконечности. Заметим, что справедливо следующее правило сравнения чисел между собой. Если a > 6, то выполнено одно из двух условий:
1) Ы > М;
2) [a] = [Ь], {а} > {6}, причем, если {а} = 0, а^ .. .а* ... и {6} = 0,6162 .. .bk ..., то найдется номер к такой, что
ai = 61,..., ak-i = bk-i, но afc > б*..
В множестве А возьмем подмножество Ao, состоящее из всех a E А с условием a > 0, т.е.
A0 = {а ? А ! а > 0}.