Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 7

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 201 >> Следующая


§ 3. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

В этом семестре и далее мы преимущественно будем иметь дело с числовыми функциями, областью определения и множеством значений которых являются числовая ось, отрезки, интервалы, промежутки на этой оси или какие-нибудь другие ее подмножества. При этом потребуется более глубокое представление о вещественных числах, чем то, с которым имеет дело школьная программа по математике. Подчеркнем, однако, что мы будем целиком на нее опираться, и уточним только то, что действительно требует большей ясности.

В отношении рациональных чисел мы ничего уточнять не будем. Рациональные числа — это обыкновенные дроби. Вещественные числа, которые рациональными не являются, как известно, называются иррациональными.

Следует отметить, что вещественные числа — как рациональные, так и иррациональные — в природе не существуют. Они — абстракция и придуманы для практических нужд, о чем говорит здравый смысл. Можно сказать, что они породили саму математику, а в дальнейшем она предъявила к числам свои требования. И оказалось, в частности, что одни только рациональные числа этим требованиям не отвечают.

Самое простое и естественное назначение чисел в математике — измерение длин отрезков. Это означает, что длина каждого отрезка должна измеряться вещественным числом. С другой стороны, заметим, например, что диагональ единичного квадрата на координатной плоскости не может измеряться рациональным числом а.

Действительно, если это число рациональное, то a = (ш, п) = 1, и по теореме Пифагора имеем

Следовательно, m2 = 2п2. Рассмотрим возможные случаи: 1) m нечетно; 2) т четно.

1. Если т нечетно, то m = 2k + 1, т2 = 4к2 -f 4& + 1 нечетно и потому равенство m2 — 2п2 невозможно.

2. Если m четно, то m = 2ку т2 = 4к2 и 2к2 = п2. Но тогда, рассуждая аналогично, получим, что п тоже четно. А это значит, что оба числа тип делятся на 2, откуда (т, п) > 2, что противоречит условию. Значит, а — не рациональное число, что и требовалось доказать.

19 Задача измерения длины отрезка (относительно заранее заданного "эталонного" единичного отрезка) решается полностью с помощью бесконечных десятичных дробей. Их-то мы и будем называть вещественными (действительными) числами.

Итак, вещественное число — это бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком "плюс" или "минус".

Замечания. 1. Знак "плюс" в записи можно опустить.

2. Десятично-рациональные числа, т.е. числа вида h/\0k имеют при этом два представления, которые нами отождествляются, и мы можем считать, что нет десятичных дробей, имеющих цифру 9 на всех местах, начиная с некоторого.

3. Мы отождествляем вещественные числа и точки вещественной числовой оси, служащей изображением множества вещественных чисел.

4. Множество всех вещественных чисел обозначается буквой М.

Основные свойства вещественных чисел.

1°. Va, 6 имеем: или a = 6, Ь = а, или а > b, 6 < а, или а < 6, Ь > а.

2°. Если а > 6, 6 > с, то а > с. Если а = 6, 6 = с, то а = с.

3°. Va, 6 Є IR 3! число с Є М, такое, что a -I- b = с.

4°. Va, 6, с Є Ш имеем (a + 6) + c=a + (6 + c).

5°. Va, b Є имеем a 4- b = 6 + a.

6°. 3! число О Є M такое, что a + 0 = 0 + a = a.

7°. Va € Ж 3! (-а) Є M такое, что a + (-a) = 0.

8°. Va, 6 Є Ж 3! сЄМ такое, что ab = с.

9°. Va, 6, с € M имеем (a6)c - а(6с).

10°. Va, 6 Є Ж имеем ab = 6а.

11°. 3! число 1^0 такое, что a • 1 = 1 • a = а.

12°. Va 0 3! а"1 такое, что aa-1 = 1.

13°. (a -f b)c = ас+be.

14°. Если а > Ь, то а + с > b + с.

15°. Если а > 6, с > 0, то ас > 6с.

Указанные свойства вещественных чисел призваны отражать количественные характеристики простейших математических объектов, таких, например, как длины отрезков, площади прямоугольников и объемы прямоугольных параллелепипедов, а также изменения этих величин при различных преобразованиях.

Запись числа в виде бесконечной дроби, которую мы отождествили с самим числом, можно было бы рассматривать как одно из подобных свойств. С другой стороны, свойствам I0 — 15° обязаны отвечать рекуррентные процедуры определения последовательности десятичных

20 знаков для результатов арифметических операций над двумя вещественными числами, заданными бесконечными десятичными дробями. Эти процедуры могут быть заданы на основе правила сравнения величин бесконечных десятичных дробей, которое будет рассмотрено далее при доказательстве полноты множества вещественных чисел.

Априорность свойств вещественных чисел, т.е. тот факт, что они рассматриваются в качестве исходных для построения дальнейшей теории, наводят на мысль считать их аксиомами, которые определяют (вместе с двумя другими свойствами) само множество вещественных чисел. Однако подобный подход нас не вполне устраивает, поскольку понятие натурального числа неявно присутствует в законах логики, на которые мы опираемся в своих рассуждениях ([19], с. 372-378).

Подчеркнем однако исключительную плодотворность аксиоматического метода для обоснования исходных принципов в других областях математики. Прекрасным примером этого является идущая от Евклида аксиоматика элементарной геометрии.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed