Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Таким будет, как мы показали, множество рациональных чисел.
Утверждение 2. Всякое непустое подмножество счетного множества конечно или счетно.
Доказательство. Занумеруем элементы счетного множества и перенумеруем затем элементы подмножества в порядке возрастания этих номеров. Если мы исчерпаем все подмножество на конечном шаге, то оно конечно, иначе — счетно.
(А.= 1) г3 = у = 1 (А = 2)
15Утверждение 3. Сумма конечного или счетного числа счетных множеств счетна.
Доказательство. Проведем нумерацию элементов суммы множеств по следующей схеме:
Ai:= (an, аі2,-Нїіз, ...), і /1 / /1
A 2-=(^21, Я22, 023, ••¦),
SSS
Аз'-= («31, <*32, ЯЗЗ,
IS S
и т.д. (при этом пропускаем уже встречавшиеся элементы). За 2г2 шагов будут заведомо занумерованы все элементы а^, к + / < г. Доказательство закончено.
Обратим внимание, что бесконечные множества, рассмотренные в утверждениях 1-3, оказались равномощными, точнее, счетными. Но не все бесконечные множества равномощны. Имеет место следующее утверждение.
Теоремаї. Совокупность Z = Q(X) всех подмножеств любого множества X сама образует множество, не эквивалентное X.
Эта теорема (точнее, ее модификация: N^R) была доказана Г. Кантором (1845-1918) в 1874 г.
Доказательство будем вести от противного. Пусть
F
Z ~ X. Значит, имеется биективное соответствие X —у Z. Тогда, если а Є X, то ему однозначно соответствует А Є Z, т.е. ^(а) = А, F^1(A) = а. Теперь всякую точку а Є X назовем правильной, если она принадлежит своему образу, т.е., если а Є F(а). В противном случае эту точку а мы будем называть особой точкой. Назовем дефектом множество D С X, состоящее из всех особых точек а Є X. Тогда ясно, что D является элементом множества Z. В силу наличия взаимно однозначного соответствия F между X и Z найдется такая точка d Є X, что F(d) = D. При этом сама точка d обязана быть либо правильной, либо особой. Но первое не имеет места, поскольку тогда бы по определению правильной точки она принадлежала бы D = F(d), что невозможно, так как ко множеству D по построению отнесены только особые точки. Но второй случай приводит к противоречию, так как тогда по определению особой точки d ? F(d) = D, а, с другой стороны, тогда точка d как особая точка должна войти в дефект D по его построению.
16Таким образом, предположение о существовании биекции между Z и X во всех случаях ведет к противоречию, т.е. Z fZi X. Доказательство закончено.
Следует отметить, что как результат, так и доказательство теоремы 1 справедливы и в том частном случае, когда X есть пустое множество 0. Тогда мощность множества X равна 0, а множество Z = Sl(X) состоит ровно из одного элемента, т.е. самого X и поэтому его мощность равна 1 = 2°. Заметим еще, что для конечного множества Xi состоящего из к элементов, мощность множества Z = Q(X) равна в точности 2к.
Определение 3. Бесконечное множество называется несчетным, если оно не эквивалентно N.
По теореме 1 несчетным множеством, например, является множество подмножеств N, а значит, множество последовательностей, составленных из 0 и 1 (?-й член последовательности равен 1 или О, в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит число к подмножеству).
Прием, с помощью которого мы доказали теорему 1, называется канторов диагональный процесс. Впервые он был применен Г. Кантором в 1874 г. при доказательстве несчетности точек на отрезке. Этот процесс называется диагональным, потому что если в теореме 1 в качестве X взять натуральный ряд N, то получится, что множество подмножеств, т.е. совокупность последовательностей, составленных из нулей и единиц, не эквивалентно X. Доказательству теоремы 1 в этом случае можно придать такой вид.
Предположим, что N ~ Z = Q(N). Тогда имеем взаимно однозначное соответствие
1 #i = (Лц,Лі2,Ліз,...),
2 #2 = (Л21>Л22,/І23, ¦ • •)
и т.д. (здесь символами #і,#2,... обозначены некоторые различные последовательности из нулей и единиц).
Возьмем последовательность, составленную из "диагональных" элементов: (Лц, Лг2> Азз,...), и поменяем все разряды на противоположные, т.е. единицы заменим на нули, а нули — на единицы. Получим
H = {hu,h22, hзз,...).
Этот элемент не совпадает ни с одним из Hmi т.е. он не занумерован. Имеет место противоречие.
Определение 4, Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, составленных из нулей и единиц, называется мощностью континуума.
17Утверждение 4. Множество I точек отрезка [О, 1] имеет мощность континуума.
Доказательство. В двоичной записи каждая точка единичного отрезка [0, 1] может быть записана в виде
O1 Л1Л2Л3, • • •. hk — { J , 1,2,3,...
Такая запись единственна, за исключением чисел вида п/2к, к, п Є N. А числам такого вида соответствуют в точности две записи (у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны 0, а у другой — все единицы). Для всех точек, за исключением точек вида п/2к, установим соответствие так:
х- (xbx2,...) 0,xi,х2,.. - -
А так как множество точек вида п/2к счетно, то счетным множеством является также множество последовательностей, им соответствующих. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [0, 1] и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т.е. множество точек отрезка имеет мощность континуума.Лекция З