Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
8) J sin X dx = — cos X + с;
9) / cos xdx = sin X + с;
10)/^ = ~ctg*+c;
U) /sfc = tg* + c;
12) J In жс^ж = X In X — X + c.
Как1 мы уже отмечали, не всякая функция имеет точную первообразную, потому что «не всякая функция является производной от другой функции. Рассмотрим, например, функцию
II, если ж €(0,1),
2, если X =
3, если X Є (1,2).
Эта функция определена на (0,2) и не может являться производной какой-либо функции F(x) на (0,2), так как по теореме Дарбу производная принимает все свои промежуточные значения, a /(ж) — всего три значения: 1, 2, 3.
171- В дальнейшем мы докажем формулу Ньютона-Лейбница, из которой следует, что функция, непрерывная на интервале, имеет первообразную, т.е. интегрируема. Поэтому все элементарные функции интегрируемы на всех интервалах, входящих в их области определения. Однако в результате интегрирования далеко не всегда получаются снова элементарные функции, как это имеет место при дифференцировании. Например, можно доказать, что функции
Iiar= /г— (интегральный логарифм), J In X
si x = J ——- dx (интегральный синус)
не являются элементарными.
Функции, сами не являющиеся элементарными, но определяемые через них с помощью аналитических соотношений типа интегрирования и дифференцирования, обычно называют специальными функциями. Однако следует отдавать себе отчет в том, что, например, с вычислительной точки зрения специальные функции, вообще говоря, "ничуть не хуже", чем элементарные, а иногда и "лучше". Но все же простейшие элементарные функции имеют преимущество, состоящее в простоте тех функциональных соотношений, которым они удовлетворяют.
Еще раз подчеркнем, что единого метода интегрирования элементарных функций существовать не может, так как первообразная может и не быть элементарной функцией. Но для нахождения первообразной в явном виде имеется несколько приемов. Говоря о методах интегрирования, снова напомним, что для выяснения того, является ли известная нам функция F(x) первообразной для f(x), нет необходимости "брать интеграл", т.е. вычислять / f(x)dx, здесь надо просто найти F'(x) и сравнить ее с f(x) .
Примеры. 1. Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную на (а,6), С(х) = ? сп- Тогда
а<п<х.
F(X) = ? сп/(п) - C(X) f (X) = - f C{x)f'(x)dx,
а<п<х
Действительно, если X — не целое число, то, поскольку С(х) и ^ кусочно-постоянны на интервалах, не содержащих целых
а<п<г
точек,"
F'(x) = -C(x)f'(x).
Ранее мы убедились, что F(x) непрерывна на (а, 6). Так что F(x) есть первообразная для функций C(x)f'(x).
172- 2. Пусть функция /(х) имёет' непрерывную производную на (а, 6), р(х) — \ — {я}- Тогда имеет место формула
FW = E Я") - *>(*)/(*)+Mn«) = [ш - p(*)f(*))d*-
а<п<х J
Действительно, если X — не целое число, то
Ff(x) = (-p(x)f(x))' = /(X) - р(х)Г(х).
Далее, так как F(x) — непрерывная функция, то F(x) — первообразная для функции /(х) — p(x)f'(x).
Иногда дифференцирование ответа оказывается очень громоздкой процедурой, так что целесообразно с помощью различных приемов сводить процесс вычисления к табличным интегралам. Для того чтобы уверенно и быстро вычислять интегралы, необходим определенный навык применения стандартных приемов интегрирования. Самые простые и самые общие из этих приемов — это метод замены переменной и метод интегрирования по частям [см. свойства (5) и (6)].
Подробнее с различными методами интегрирования можно познакомиться, например, в [4, 7, 15, 16]. Лекция ЗО
ДОПОЛНЕНИЕ. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ПО ГЕЙНЕ НА ФУНКЦИИ, СХОДЯЩИЕСЯ ПО БАЗЕ МНОЖЕСТВ
Предметом настоящей лекции является распространение классического понятия предела функции по Гейне на общий случай сходимости по базе множеств. Как известно, построение курса математического анализа основано на двух эквивалентных понятиях сходимости: пределах по Коши и по Гейне. Одновременное использование обоих понятий в курсе мотивируется его содержанием. В частности, это позволяет унифицировать и сделать значительно яснее использование пределов во всем их разнообразии, включая теорию интегрирования, функции многих переменных и др.
Необходимо отметить, что понятие сходимости по базе множеств было впервые сформулировано А. Крыжановским [22] (в несколько отличающейся терминологии). В 1937 г. В.И. Гливенко [23] использовал это понятие для общего определения интеграла. Позже, как отмечал А.Н. Колмогоров, французская математическая школа пришла к тому же понятию в рамках теории фильтров.
В связи с успешным развитием теории сходимости по Коши возникла неотложная необходимость в соответствующем обобщении понятия предела функции по Гейне [24],[25]. Здесь мы решаем эту задачу. Введем понятие Я-предела по базе, которое совпадает с классическим определением предела по Гейне в простейших конкретных случаях. Затем установим эквивалентность понятия Я-предела по базе, введенного нами, и общепринятого определения предела функции по Коши. Наконец, как нетривиальный пример введенного понятия Я-сходимости по базе, мы продемонстрируем новый подход Tc определению и исследованию верхнего и нижнего пределов функции по базе.
