Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Примеры.
1. f 1 • dx = X + с, так как х' = 1.
2. /О • dx = с,
3. J cos х dx = sin х + Ci так как (sin х)' = cos х.
Для доказательства этих равенств надо продифференцировать правую часть и убедиться, что ее производная равна функции, записанной слева между знаком J и символом dx. Она называется подынтегральной функцией. Знак / называется знаком интеграла, а выражение, записываемое справа от него, — подынтегральным выражением.
Легко видеть, что подынтегральное выражение есть не что иное, как дифференциал любой первообразной функции для f(x). Действительно, если F(x) — первообразная для /(х), т.е. F'(x) = /(ж), то по определению дифференциала
dF{x) = f{x)dx.
А так как
J f{x)dx = F{x) + c} d{F(x) + c) = dF{x), (1)
то можно записать равенства
J dF(x) = F(x) + с, d^J /(x)dx^ = dF(x) = f(x)dx, (2)
причем знак равенства в последнем соотношении означает, что все функции, входящие в совокупность / f(x)dx, имеют один и тот же дифференциал dF(x). Также имеем
Ц f(x)dxj = /(ж). (3)
Определение 4. Нахождение неопределенного интеграла от функции /(х), заданной на (а, 6), называется интегрированием
этой функции. Саму задачу нахождения неопределенного интеграла можно рассматривать как обратную к задаче нахождения дифференциала функций. Лекция 23
§ 2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Из правил дифференцирования функции и теоремы 2 следует ряд свойств неопределенного интеграла. Приведем некоторые из них, которые задаются равенствами и доказываются с помощью дифференцирования обеих частей этих равенств. Прежде всего докажем, что равенство
I f(x)dx = J ff(x)dx (4)
эквивалентно одному из следующих четырех равенств:
а) (jf(x)dx)' ={jg(x)dx)';
б) d(ff(x)dx)=d(fg(x)dx); .
в )f(x)=g(x);
г) f(x)dx = g(x)dx, которые имеют место при всех X € (а,Ь), за исключением, быть может, конечного числа точек.
В самом деле, силу приведенных выше свойств (1)-(3) равенства а)-г) действительно эквивалентны. А равенство (4) означает лишь то, что любые две первообразные F, G для функций / и д отличаются между собой на константу. Но согласно замечанию к теореме 1 для этого необходимо и достаточно, чтобы / = д, т.е. равенство (4) равносильно равенству в).
Замечание. Свойство (4) дает критерий равенства двух неопределенных интегралов: они совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их производные или дифференциалы. Докажем теперь следующее свойство:
J[f{x)+g(x))dx = J f(x)dx + J g(x)dx; (5а)
= (56)
Эти равенства надо понимать как совпадение двух совокупностей функций, стоящих в этих равенствах справа и слева. (Напомним, нто два множества равны, когда они состоят из одних и тех же элементов.) Надо пояснить, что совокупность
f(x)dx + J g{x)dx 169 состоит из всевозможных функций, образованных суммами функций F(z) + G(x), где F{x) Є Jf(x)dx, G{x) Є fg{x)dx, т.е.
J f(x)dx + J g(x)dx = + G(ar)},
где
№)} = I /(*)<**, №)} = J g(x)dx.
Теперь для доказательства (5) в силу свойства (4) достаточно продифференцировать эти равенства. Доказательство закончено.
Заметим, что для простоты применения на символы J f(x)dx и J g(x)dx удобно смотреть, как на обычные функции, подразумевая под ними некоторые первообразные для функций f(x) и д(х) соответственно, а равенство между выражениями, в которые они входят линейно, понимать с "точностью до постоянной", имея в виду, что правая и левая части отличаются на функцию, постоянную на (а, 6).
С помощью свойства (4) можно легко установить еще два свойства неопределенных интегралов, важных для непосредственного интегрирования:
правило интегрирования по частям
— J u(x)dv(x) = j v(x)du(x), (6)
правило замены переменной
I f(x)dx = J f(v(tW(t)dt, (7)
где X = (p(t) — дифференцируемая функция от определенная на интервале (а,/?), причем множество значений {<p{t)} принадлежит интервалу (а, Ь), Мы предполагаем, что в обоих равенствах интегралы в левых частях действительно существуют; из этого следует существование интегралов и в правых частях этих равенств.
Докажем свойство (6). Так как по условию интеграл в левой части равенства существует, то ее дифференциал равен
dv^ = w dv + V du ~~ и dv = v du.
Отсюда в силу свойства "(4) следует справедливость свойства (6).
Для доказательства свойства (7) заметим, что по правилу дифференцирования сложной функции и свойству (3) при X = <p(t) имеем
(J f(x)dxj = (I f(x)dx^j Ш. = /(X)Uv^ VW - f(<P(tW(t).
170- Следовательно, согласно свойству (4) интеграл J f(x)dx при х = <p(t) есть в то же время и неопределенный интеграл от функции f(<p(t))(p'(t), т.е.
I f{x)dx = J = / /Ш)<р'№,
что и требовалось доказать.
С помощью дифференцирования легко убедиться в том, что спра-*
ведливы следующие равенства для неопределенных интегралов от простейших элементарных функций:
1) /*»<**==?? +с, п^-1;
П + 1
2) f± = ]n\z\ + c;
dx _
dx _
X
3) І т&г = arct^ х +с;
4) /ftf =
l+g I-JC
+ с;
5) f = arcsin X + с;
6) / S= In ж + Vz2 ± 1
+ с;
7) = ^r+ с, а > 0, а ^ 1, / e*dx = ех + с;
