Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы конкретно задать какое-либо отображение, т. е. функцию, надо, вообще говоря, определить способ (правило), как из всего декартова произведения AxB выбрать множество F с нужными свойствами. Указание этого способа, по существу, и задает функцию. Поэтому для функции очень часто дается следующее определение:
Определение 12. Функцией F называется правило, по которому каждому элементу х Є А ставится в соответствие строго один элемент у множества В. При этом пишут у ~ F(х).
Недостатком этого' определения является то обстоятельство, что функцией оказывается правило, а не множество, как в предыдущем случае, что неестественно, так как из школьного курса математики известно, что функции можно складывать, умножать и выполнять с ними другие арифметические операции.
Считается, что употребление термина "отображение" больше свойственно геометрическому стилю изложения, а термина "функция" — аналитическому стилю.
Некоторые типы отображений. Обратная функция.
Взаимно однозначное соответствие
1. Отображение F называется сюръективным, или отображением "на" (т.е. отображением А на В), накрытием, если F(A) = В.
2. Отображение F называется инъективным, или вложением, если у каждой точки у = F(x) существует строго один прообраз, т.е. ИЗ условия у = F(x і) = F(X2) следует, ЧТО Xi = Х2-
3. Отображение F называется биективным, или взаимно однозначным, если оно является накрытием и вложением одновременно. В этом случае отображению F : А —В можно поставить в соответствие обратное отображение F-1 : В -* А по правилу: вместо пар (х,у) в декартовом произведении AxB надо рассмотреть соответствующие пары (у, х) из В X А, поменяв х и у местами. Очевидно, что F~1 — это также отображение. Кроме того,
F~l(F(x)) = х Vx Є А и F(F-1M) = у Vy Є В.
Биективное отображение называется еще взаимно однозначным соответствием или биективным соответствием. Лекция 2
§ 2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖЕСТВА. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА. МОЩНОСТЬ КОНТИНУУМА
Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль при перенесении представления о "количестве" элементов множества с конечных множеств на бесконечные. Это необходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с бесконечными множествами. Вот некоторые из них.
N — множество всех чисел натурального ряда;
TL — множество всех целых чисел (положительные, отрицательные целые числа и нуль);
R — множество вещественных чисел на прямой;
Ж ж E — множество точек на координатной плоскости.
О количестве точек множества можно говорить только для конечных множеств, а для бесконечных — нельзя. В этом случае говорят о мощности множества. Таким образом, мощность множества — это понятие, которое обобщает понятие "количество элементов" на случай бесконечных множеств. Если же множество конечно, то термины "мощность множества" и "количество элементов множества" — синонимы.
Определение 1. Множеств а А и В называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Это обозначается так: А ~ В.
Свойства: 1) А ~ А; 2) А ~ В =ї В ~ А] 3) А~ В, В~С А~С.
Другими словами, можно биективно отобразить одно множество на другое. Если А и В эквивалентны, то говорят еще, что они имеют одинаковую мощность.
Приведем важный пример эквивалентности бесконечных множеств.
Утверждение 1. Множество N (натуральных чисел) и множество Q (рациональных чисел, т.е. всех дробей ^l, mGZ, п Є N, (m, ті) = Ij эквивалентны.
Здесь символом (т, п) обозначен наибольший общий делитель чисел тип.
Доказательство. Достаточно показать, как присвоить собственный номер каждому рациональному числу. Для этого представим каждое рациональное число в виде несократимой дроби:
Г=*, рег, q GN, (p,g)=l.
9
14 Такое представление единственно. Высотой рационального числа г = p/q назовем величину |р| 4- Я — h- Эта высота сама является натуральным числом, т.е. принимает значения 1,2,3, ... и т.д. При фиксированном h > 1 существует не более 2h различных несократимых дробей, так как тогда знаменатель q может принимать значения 1, 2,..., h — 1 (число которых равно h — 1), а для данного q числитель р числа г может принимать не более двух значений: ±.(h — q) (точнее, либо два, если дробь p/q получается несократимой, либо ноль, если она — сократима, так как тогда она имеет другое значение ^q в представлении в виде несократимой дроби). Таким образом, с данной высотой h число рациональных чисел не более 2(h — 1) < 2Л.
Будем нумеровать дроби в порядке возрастания Л; при фиксированном h в порядке возрастания q, а при фиксированных h и q — в порядке возрастания р. Тогда получим
и т.д. Ясно, что каждое рациональное число когда-нибудь получит свой порядковый номер. При этом все номера 1,2,3,... будут использованы и разные рациональные числа получат разные номера. Тем самым построено взаимно однозначное соответствие множеств Q и N. Утверждение 1 доказано полностью.
Определение 2. Всякое множество, эквивалентное (равномощное) множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.
