Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1 доказана.
і
Формула, задающая многочлен Р(х), называется интерполяционной формулой Лагранжа. При этом точки xi,...,xn называют узлами интерполяции.
Qk(x) = [
157 Пусть f(x) — некоторая функция. Обозначим через Pk(ж) многочлен степени к — 1, принимающий в точках xi,.. .,хк значения f{xi),...,f(xk). Тогда интерполяционную формулу можно записать в виде
п
P(x) = P1(x) + - Ph-i{x)) = Pn(x).
к=2
Многочлен Pjt(х) ~ Pk-1(х) степени к — 1 в силу определения обращается в нуль в точках хх,... ,xje-i- Следовательно, он имеет вид Ак(х — xq) .. .(х — хк-\)- Коэффициент Ak совпадает со старшим коэффициентом многочлена Рк(х) ц в силу интерполяционной формулы Лагранжа равен
At = /(*l) I
(x1-x2)--^xi -хк)
/Ы + _ + /ы
(х2~ хх)(х2- x3) . . .(х2- xk) (xk-x1)rt-(xk-xk-x)'
Таким образом, коэффициент Ak является некоторой функцией от x1,..., xk- Обозначим ее через Ak ~ fk (яъ • ¦ • > хк)- Тогда интерполяционный многочлен Р(х) можно записать так:
P(x)=fx(x1)+(x-x1)f2(x1,x2)+- • Ч-(ж-Яі).. .(x-xn-x)fn¦ • - ,Яп),
где, очевидно, полагая х = x1, имеем /і(жі) = f(xі). Эта формула называется интерполяционной формулой Ньютона. Функции fk(xі,..., Хк), к = 1,..., п, называются интерполирующими функциями.
Полагая в формуле Ньютона x = хп, получаем
f(xn) = р(хп) = f(xі) + (хп - x1)Mx1, х2) + ...
+(Яп -жі)...(жп - xn-x)fn(xlr.. .,xn).
Здесь узел интерполяции хп — произвольное число, поэтому, заменяя хп на х, будем иметь
f(x) = /(x1) + (x- x1)f2(x1, x2) + . . • + (х - x1)... (х - жп-і)/п (x1,..., х).
Уменьшим количество узлов интерполяции на один, исключив точку xn-xi запишем эту формулу для узлов интерполяции x1, . . ., хп-2, x и вычтем получившееся тождество из предыдущего. Тогда получим
f, . ч /п-і(®Ь • • -ухп-2,х) - /п-і(жі, . . .,Zn-l) /п(Жі, . . . , = -.
x - xn-x
158- Таким образом, при п = 2,3,... имеют место соотношения г , ч _ /(a?) - /(gl) , , _ ч _ /г(а?1,Д?) -/а(а?1,а?2)
/2(^1,*) =-, /3(^1,^2,я) =-,
X — Xi Xi — X2
которые позволяют с помощыб простого алгоритма вычислить интерполирующие функции. Для определения всех коэффициентов интерполяционного многочлена Ньютона (п — 1)-й степени достаточно вычислить значения интерполирующих функций в n^n2"'1 ^ точках (с учетом кратности). Здесь существенно, что при добавлении новой точки интерполяций интерполирующие функции, вычисленные ранее, сохраняются и надо только добавить к ним значения интерполирующих функций в этой точке.
Теорема 2. Пусть функция f(x) имеет п-ю производную на отрезке [а, 6], а < Xi < X2 <¦¦• < хп < Ь. Тогда имеет место формула
f(b) = Pn(b) + R(b),
где
fin)(с)
ад = l^lA*-*!) •• •(*-*»),.
Tv <
причем с — некоторая точка, принадлежащая (a,b).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
R(x) = /(*) - Рп(х) -(х-xi)... (х- ®П)Я,
где H — некоторое число, значение которого мы выберем ниже. Имеем
R(X1) = ... = R(Xn) = 0.
Величину H найдем из соотношения Я(6) = 0. Отсюда по теореме Ролля, примененной п раз, получим, что существует числЛ с Є (а, 6), для которого R(n)(c) = 0, откуда
fW(c)-n\H = 0.
Следовательно,
я = -/И(с)
п!
Теорема 2 доказана. Лекция ЗО
§ 17. МЕТОД ХОРД И МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ (МЕТОД НЬЮТОНА). БЫСТРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Пусть функция /(х) дифференцируема на отрезке [а, 6]. Тогда f(x) непрерывна на [а, Ь] и по теореме Коши о промежуточном значении для любого а Є Wi лежащего между числами /(а) и /(6), внутри отрезка [а, 6] найдется точка с такая, что /(с) = а. Естественной и важной задачей и в теоретическом, и в практическом смысле является задача вычисления приближенного значения числа с с наперед заданной точностью. Например, можно поставить вопрос о нахождении корня уравнения X2 = 2 с точностью до десяти знаков после запятой, т.е. для \/2 найти приближенное значение Cq такое, чтобы имело место неравенство \\/2 — Cqj < IO"10 и т.п.
Рассмотрим два естественных метода нахождения таких рриближен-ных значений, а именно: метод хорд и метод касательных, который еще называют методом Ньютона, поскольку Ньютон первым его применил. Эти методы важны не столько сами по себе, сколько тем, что они являются простейшей моделью многих вычислительных процессов, применяемых в гораздо более сложных ситуациях. Оба метода итерационные, т.е. они состоят в последовательном вычислении некоторых чисел Xi, Х2, ..., х„,.... При этом разность |с — Xn I —У 0 при п —У оо, и поэтому , начиная с некоторого номера по, она должна стать меньше наперед заданного значения, называемого заданной точностью или погрешностью вычисления.
Метод хорд. Число Xi определим как абсциссу точки пересечения горизонтальной прямой у = а с "хордой" графика функции у = f(x), т.е. с отрезком, соединяющим точки (a,/(a)) и (6,/(6)), Обозначим отрезок [а, 6] через I0. Полагая А = /(а) и В = /(6), исходя из подобия соответствующих треугольников для нахождения величины Xi имеем уравнения:
а — А __ В - а _ а — В Х\ — a b — Xi Xi — Ь
Отсюда находим
Xi(а - А) — Ь(а - А) = хі(а - В) - а(а - В), _ -а(а- В) +Ь(а-А)
