Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 46

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 201 >> Следующая


Iim /(х) или Iim /(х)

x-t-a- r-rn+ v '

равен ±оо.

Пример, у = 1/х. Здесь прямая ж = 0 — это вертикальная асимптота.

Определение 3. Прямая у = кх 4- 6 называется наклонной асимптотой функции /(х) (или, точнее, графика функции у = /(ж)) при x —> +оо, если

a(x) = /(х) — kx — b 0 при ж —> +оо. Аналогично определяется асимптота при х —у —оо.

153- Теорема 5. Для существования наклонной асимптоты у — kx + b при X —f +оо у функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы при X —У +оо (одновременно) выполнялись два условия:

1) lim = Iк, keR,

Г—++OO

2) lim (f(x) - кх) = Ь, 6 Є Ж.

r-f+oo

Доказательство. Необходимость. Пусть у = кх + Ь — асимптота, тогда

с*(х) = f(x) — кх - 6 —> О при X —У +оо.

Следовательно,

fix) — кх ~ Ь

—^--У О при X -У +оо,

X

откуда

lunM = t.

г—»+оо а;

Далее,

Iim (/(х) - кх) = lim ((f(x) -kx-b) + b) = b.

X-4+OO r—foo

Тем самым первая часть теоремы доказана.

Достаточность. Так как 1ітх_^+0о(/(я) — кх) = Ь, то

Iim а(х) = lim (f(x) - кх - b) = lim ((f(x) - кх) - b) = b - b = 0.

X-1-+00 V ' + + OQ ' ' *-»-00VV'V ' ' '

Теорема доказана полностью.

Если для функции f(x) выполнено условие 1 теоремы 5, то мы будем говорить, что прямая у = кх задает асимптотическое направление.

Пример нахождения наклонных асимптот в случае функции, заданной неявно.

Рассмотрим уравнение кривой

X3 + у3 -Zaxy = 0.

Зададим ее параметризацию, полагая у = tx. Тогда получим

х3(1 + <3) — Zax2I = О, , о 3 at Л -W

1 + t---=0, X =

х

1 + <3'

Отсюда имеем: = t = t(x) — ограниченная величина при х оо и i(x) —1. Следовательно, t = —1, т,е. прямая у = — х задает

154- асимптотическое направление. Найдем теперь значение параметра Ь в уравнении касательной у = —х + Ь. Имеем

у = -X + Ь + о(1), X3 + (-а: + б)3 - Зах(-х + 6) = о(х2),

откуда

Зх2(6 + а) + Зх(а6 - б2) + б3 = о(х2), аЬ-Ь2 б3

Переходя в последнем равенстве к пределу при x oo для постоянного b, получим равенство b + а = 0, откуда 6 = — а, и, следовательно, искомое уравнение асимптоты при х —> оо имеет вид у = —х — а.

Краевой экстремум. Пусть f(x) задана на отрезке [а, 6].

Определение 4. Точка а называется точкой краевого локального максимума (минимума), если существует интервал (a, a + 6) Є [а, 6], для всех точек х которого справедливо неравенство

/(а) > /(х) (соответственно /(х) > /(а)).

При /(а) > /(х) имеет место несобственный (локальный) максимум; при /(а) < /(х) — несобственный (локальный) минимум.

То же самое можно определить и для точки &, только интервал (а, а+ (У) надо заменить на интервал (b — S,b)..

Краевые максимум и минимум называются краевыми экстремумами.

JI е м м а 2. Для существования (собственного) краевого экстремума в точке а (или Ь) достаточно, чтобы в этой точке существовала отличная от нуля односторонняя производная функции /(х).

Доказательство аналогично доказательству леммы Дарбу.

Например, если /'(х) > О при х Є (a, a+ J), то а — краевой минимум, поскольку при X Є (а, а + ?) существует с G (а, а + ?) такое, что

/(х)~/(а)=/'(с)(х-а)>0, т.е. f(x)>f(a). Лемма 2 доказана.

155- Обшдя схема построения графика функции f(x)

1. Найти область определения функции f{x).

2. Учесть особенности функции (четность, периодичность, знакопе-ременность). Найти пересечения графика с осями координат.

3. Отметить значения функции на границе области определения и в точках разрыва. Найти вертикальные асимптоты.

4. Найти наклонные асимптоты.

5. Определить участки монотонности. Определить локальные и краевые экстремумы.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.

7. Отобразить перечисленные особенности функции при построении ее графика. Лекция ЗО

§ 16. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

Целью интерполирования, или интерполяции, является приближенное нахождение функции по известным значениям этой функции и ее производных в некоторых заданных точках области ее определения. Эта задача становится определенной, если задан вид функции и число неизвестных параметров не превышает количества заданных значений функции и ее производных. Так, например, многочлен n-Й степени имеет п + 1 параметров (его коэффициенты) и может быть определен по значениям его в n + 1 различных точках.

Пусть в точках xj,.. .,хп многочлен Р{х) принимает соответственно значения f(xi),..-,f(xn).

Теорема 1. Существует единственный многочлен Р(х) степени п — 1 такой, что P(Xfc) = f(xk), к = 1,. .., п.

Доказательство. Имеем

1, если X = Xk,

О, если X = Xi, ..., xk+u ..., Xnt

где

QkU) - (д? -Xl)...(х- gjfc-i)(g - Xk+1) . . ¦ (х - Xn) k (Xk -Xi)... (xk - Xk-i)(xk - a?fc+i) ...(xk- Xn)'

Тогда P(x) можно записать в виде

Р(х) = f(xi)Qi(x) + . - ¦ + /(xft)Qn(x).

t

Докажем, что многочлен Р(х) единственен. Действительно, допустим, что существует еще один многочлен с указанными свойствами, т.е.

Q(Xk) = f(xk).

Отсюда получим, что многочлен (п — 1)-й степени

F(x) = Р(х) - Q(X)

имеет п корней, а именно, F(xk) = 0, k = 1,...,п. Следовательно, F(x) = 0, т.е. многочлены Р(х) и Q(x) тождественно совпадают.
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed