Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Другие случаи рассматриваются совершенно аналогично, поэтому теорему 5 можно считать доказанной.
Замечание. Из определений 1 и 2 следует, что всякая хорда, соединяющая две различные точки графика функции, выпуклой вверх, лежит под ее графиком, а для функции, выпуклой вниз, она лежит над графиком. Это свойство часто берется в качестве исходного определения выпуклости функции (вверх или вниз соответственно). Рассмотрим его подробнее на примере функции выпуклой вверх. Запишем свойство выпуклости вверх функции в аналитической форме с помощью неравенств. Значения координат точки (ж, у), находящейся на хорде с концами в точках (xi,j/i), у\ = f(x\) и (х2,у2), у2 =/(х2) при х\ и х2, принадлежащих интервалу (а, 6), с условием х\ < X2 можно записать в виде
x = A1x1-I-A2x2, у = A1jz1 + A2jz2,
где Ai > 0, A2 > 0 и A1 + A2 = 1. Поскольку величина у в этом случае не Должна превосходить /(х), то условие выпуклости вверх будет выражено следующим соотношением
/(A1X1 + A2x2) > у = Aiy1 + А2у2 = Ai/(xi) + А2/(х2).
В этом случае функция /(х) непрерывна на интервале (а, 6) и имеет на нем правую и левую производную. Далее мы докажем непрерывность функции и ограничимся рассмотрением только правой производной.
Сначала докажем непрерывность справа функции /(х) в любой точке хо интервала (а, Ь). Прежде всего отметим следующий геометрический факт, состоящий в том, что всякая прямая пересекает график функции f(x) либо по некоторому отрезку, либо не более чем в двух точках. Действительно, если бы нашлись три такие точки Л = (a?i,jft), В = (х2,JZ2) и C = (x3tjfe), Xi < X2 < х3, то на интервале (xi,x2) или на интервале (х2,хз) существовала бы точка Х4, для которой точка D ~ (х4,/(х4)) не лежит на хорде с концами А и С. Но тогда при х € (xljx2) точка D обязана лежать выше хорды AB и
148- хорда DC лежит выше точки В, что противоречит выпуклости вверх функции /(х). Если бы точка X4 лежала на интервале (х2,х3), то выше точки В проходила бы хорда AD.
Отсюда следует, что если точка Xq Є (а, Ь) лежит левее ТОЧКИ Xq, то часть графика функции /(х), отвечающая точкам х > хо, лежит под продолжением хорды /i, соединяющей ТОЧКИ (Х5,/(Хб)) И (Х0,/(х0)). Это значит, что если к і — угловой коэффициент хорды /і, то при всех X > хо имеем А/(аїо) < Ari Ах, где Дх ¦= X — Xo- Следовательно, при Ax > 0 заключаем, что
А/(х0) = O(Ax) 0 при Ax О+,
т.е. /(х) непрерывна справа в точке хо Є (а,Ь). Подобным же образом можно установить, что функция /(х) в точке хо непрерывна слева. Таким образом, во всех точках интервала (a, b) эта функция является непрерывной.
Переходя к доказательству существования правой производной функции /(х) В точке X = Xo, заметим, что для любых точек Xq И Х7 с условием Xo < Хб < Х7 ХОрДа, соединяющая ТОЧКИ (хо,/(хо)) И (Хб,/(Хб)), лежит не ниже хорды, соединяющей ТОЧКИ (жо,/(хо)) и (Х7,/(Х7)), поэтому для уГЛОВЫХ Коэффициентов k? и к7 этих хорд справедливо неравенство кс > кг, т.е.
t. =
Ax
> Д/(*о)
а ~ Ax
= к7.
AZ=Xt-XQ
Таким образом, отношение' a^0^ не убывает при монотонном стремлении величины Ax к нулю справа. С другой стороны, это отношение ограничено величиной Ail рассмотренной выше при доказательстве непрерывности справа функции /(х) в точке х = Хо. Следовательно, согласно свойству монотонных функций существует предел отношения
Iim Mai1
Дг—*04- Ax
который по определению и называется правой производной функции f(x) в точке х0. Случай левой производной аналогичен.
Итак, мы доказали, что у выпуклой вверх функции правая и левая производные в любой внутренней точке отрезка [а, 6] существуют, хотя они и не обязаны быть равными.
С другой стороны, мы установили, что правая производная функции f(x) в точке Xo не превосходит углового коэффициента к7. Но предел величины к7 при Х7 —> хо есть левая производная f'(xо—) функции f(x) в точке X = Xo, откуда следует, что в любой точке интервала
149- правая производная не превосходит левой производной. Если же рассмотреть две различные точки хо < хі, то угловой коэффициент Ar хорды, соединяющей точки (xo,f(xQ)) и (xi,f(xi)), "разделяет" значения правой производной /(хо+) в точке хо и левой производной /'(ж 1—) В точке Xi, т.е.
/'(X0+) > к > /'(X1-) > /'(х 1+).
Отсюда следует, что /'(ж+) не возрастает на (a,b). То же справедливо и для левой производной. Поскольку обе эти функции монотонны, каждая из них имеет не более чем счетное множество точек разрыва первого рода. Все остальные точки интервала (а, Ь) являются точками непрерывности обеих функций. Но в этом случае в силу последнего неравенства их значения совпадают, и тогда функция /(х) имеет обычную производную
Л*о)=Л*о+) = /Ч*о-),
которая к тому. же будет непрерывной и невозрастающей функцией в этой точке.
Кроме того, по свойству точки разрыва первого рода в ней существуют правые и левые пределы для /'(ж+)'и /'(ж—) и они одновременно совпадают соответственно с правой и левой производными в этой точке. Дело в том, что у функции выпуклой вверх правая производная в каждой точке непрерывна справа, а левая производная — непрерывна слева. Снова; будем рассматривать только правую производную функции /(х) в точке хо- По определению она равна предельному значению чисел Ar, являющихся угловыми коэффициентами хорды, соединяющей ТОЧКИ (хо,/(хо)) и (ж,/(ж)), когда X стремится К Xo справа. Отметим, что при уменьшении ж величина к не убывает. Если ж о < жі < ж, то угловой коэффициент к I хорды, проходящей через ТОЧКИ (жі,/(жі)) и (х,/(х)), не превосходит /'(х 1+). Величина же Ari стремится к Ar при ж і -4 ж. Поэтому предел I функции /'(жі+) при жі —у хо+ не меньше, чем Ar, т.е. I > Ar. Отсюда следует, что
