Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
=>• — "справедливо", "следует", "имеет место".
В качестве примера в этих обозначениях запишем следующее утверждение:
VA С E 0 С А.
Здесь утверждается, что пустое множество является подмножеством любого множества из Е. Это утверждение следует из наших определений, так как оно означает, что если элемент принадлежит 0, то он принадлежит А, что действительно так, поскольку в пустом множестве 0 вообще нет ни одного элемента и для доказательства справедливости этого утверждения его не надо проверять ни для одйого элемента.
Определение 5. Множество С называется объединением (или суммой) множеств А и Bf если оно состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных множеств.
Объединение С множеств А и В обозначается так:
C = AUB.
Свой с тв a: AU 5 = В U A, A U (В U С) = {A U В) U С.
Определение 6. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и А, и В, т.е. элементов, общих для этих множеств.
С в о й с т в а: А П В = В П A1 А П (В П С) = .(А П В) П С.
Заметим, что доказать равенство двух множеств — это значит доказать, что всякий элемент х, принадлежащий правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот.
Для произвольной совокупности множеств Aa, где а пробегает все элементы некоторого множества /, пишут
C=U Aa = \jAa,
«Є/ a
если С есть объединение всех множеств Aa, а Є I.
Аналогично, C = PJAcn если С — пересечение всех множеств Aa.
a
10 Определение 7. Разностью С = А \ В двух множеств А я В называется множество, состоящее из всех элементов А, не принадлежащих В.
Множество А' = E \ А называется дополнением А или дополнением до E множества А. Если множество индексов I — есть просто множество натуральных чисел, т.е. натуральный ряд 1,2,3,..., то его
OO OO
обозначают I = N, а вместо [JAa и fj пишут {J An и An.
a a п = 1 п=;1
Определение 8. Симметрической разностью С = AAB двух множеств А и В назовем множество
С = {A U В) \ {АП В). Свойства операций над множествами
1°.ЛСА 2° Л е В, BeA => A = B.
S0-ACB, BcC => Ae С. 4°.0 С A VA.
5°.(LM«) nB = LM»n?)' 6°.(f]Aa)uB = f](AaUB).
a ot a a
7 °.AeB => AUB = B, АП B = A. 8° .Au A' = E, An A' = 0.
9°.0' = E,E' = 0. IO0-(IjAci)' = f)A'a,
a a
Il0-(H^a)' = IK" 12°.AAB = (A\B)U(B\ A).
ct. a
Все эти свойства доказываются весьма просто. Покажем для примера, каким образом доказывается последнее свойство. Нам надо доказать, что если
C1 = (AU В) \ (АПВ) и C2 = (A\B)U(B\A),
то С\ — C^. Это значит, что надо доказать утверждения:
1) Va Є Ci => а Є C2, откуда имеем Ci С С2\
2) Va Є C2 =» а Є Cb т.е. C2 С Ci.
Мы ограничимся только доказательством утверждения 1, т. е. что Ci С C2. Пусть а Є Ci. Тогда a E A U В, но a ? А П В. Но если a E A U В, то или a 6 А, или a E В. Рассмотрим первый случай, т.е. a E А. В этом случае a ? В, так как иначе было бы a E А П В, что неверно. Тогда a E А \ В, откуда a E С2 = (А \ В) U (В \ А), что и требовалось доказать. В первом случае справедливость соотношения
и Ci С Сг мы доказали. Второй случай разбирается точно так же, только А и В меняются местами. Поэтому всегда имеем Ci С CV
Следующим после множества и тоже важнейшим понятием математики является понятие отображения, а также эквивалентное ему понятие функции. Но сначала мы дадим определение декартова произведения множеств.
Определение 9. Декартовым произведением C = AxB множеств А и В называют множество всех возможных пар (х, у), где первый элемент X каждой пары принадлежит А, а второй ее элемент у принадлежит В.
Определение 10. Подмножество F декартова произведения двух множеств Ax В называется отображением множества А в множество В, если выполнено следующее условие:
Vx Є А 3! пара (х, у) E F.
Пример. Пусть А = {1,2,3}, В = {2,3,4,5}. Тогда подмножество F = {(1,3),(2,2),(3,3)} множества AxB является отображением, а подмножество Ф = {(2,2), (2,3), (3,3), (3,4)} не является отображением.
Понятия "отображение" и "функция" — синонимы. Они несколько отличаются только буквенной символикой и сферами употребления. Мы будем гораздо чаще употреблять термин "функция". Тот факт, что F является отображением А в В, записывают так:
F : А-+ В или А -н- В.
Определение 11. Пусть отображение F : А —» В определяется следующим образом: Vx € А 3! у Є В, такое, что (х,у) 6 F. Тогда элемент у Є В называется образом х при отображении F и это записывается так:
у = F(x).
Элемент X называется прообразом (одним из возможных) элемента у.
Множество F(A) всех элементов F(x) Vx €Е А называется образом множества А при отображении F1 т. е.
F{A) = {yeB\y = F{x), хе А}.
Для множества С = F(A) само множество А при отображении F называется (полным) прообразом множества С.
12 Как уже говорилось, термины "отображение" и "функция" — синонимы, но при употреблении слова ^'функция" вся терминология обычно меняется. Множество А называется областью определения, а множество F(A) С В — множеством (или областью) значений. Каждый элемент х E А называется значением аргумента (или просто аргументом), а элемент у— F(x) — значением функции в точке х.
