Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
В узком же смысле, как учебная дисциплина, математический анализ представляет собой составную и, пожалуй, большую долю той части математического знания, которая сейчас является общей для всех современных математических дисциплин. И потому понятна та совершенно исключительная роль, которую играет математический анализ в математическом образовании. Он, по существу, является фундаментом математических знаний.
Не будет преувеличением сказать, что стержневое понятие всего курса анализа — это понятие предела во всевозможных его проявлениях. В общих чертах вы с ним уже знакомы из школьной математики. Тем не менее получить совершенно ясное и отчетливое представление о пределе — самая большая трудность при изучении всего курса анализа и самый важный его момент. Так как понятие предела является начальным понятием анализа, то к его изучению мы приступим очень скоро.
Каждый должен и может овладеть этим понятием. Тот, кто этого не
7 сделает, освоить курс не сможет, так как вся оставшаяся часть курса анализа будет представлять собой использование понятия предела в различных ситуациях. Для тех, кто овладеет этим понятием, в дальнейшем при изучении основного курса потребуется в большей степени усердие, чем способности.
Понятие предела является главным, но, разумеется, не единственным понятием анализа. Оно само опирается на понятия множества, отображения и функции. Наше изучение мы и начнем с этих понятий.
Определение 1. Множество — это совокупность объектов любой природы.
Посмотрим на это определение внимательно. На первый взгляд, оно никуда не годится, поскольку вводимое понятие, т.е. "множество", определяется через четыре (!) других понятия, никак нами не определенных. Однако это не совсем так. Дело в том, что назначение определений — это вовсе не наведение логической строгости как таковой. Устанавливать логическую строгость требуется только там, где нестрого введенные понятия приводят к недоразумениям.
А как решить, что ведет к недоразумениям, а что нет? У современной математики есть только такие средства: логический анализ, практика и интуиция.
Имеется два типа определений: 1) логически строгое сведение определяемого объекта к уже введенным понятиям; 2) описательное определение с помощью слов разговорного языка.
Определение множества есть определение второго типа. В математике предпочитается, конечно, первый тип определений, но, увы, начальные понятия, к которым и относится понятие множества, приходится вводить описательно. Это плохо по многим причинам, и прежде всего потому, что приводит к противоречиям (есть так называемые парадоксы теории множеств). Однако иного подхода не найдено и приходится доверяться интуиции. Здравый смысл подсказывает, что по-другому и вообще нельзя сделать ([19]. С. 352-403).
Определение 2. Объекты, образующие в своей совокупности данное множество, называются его элементами или точками.
Для обозначения различных множеств мы чаще всего будем использовать заглавные (прописные) буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов этих множеств — малые (строчные) буквы.
Определение 3. Два множества X и Y называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Это записывают так:
X = Y или Y = X.
8 Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут:
а 6 А (или А Эй).
Если а не принадлежит А, то этот факт записывают в виде:
а ? А (или аЄА).
Определение 4. Если все элементы множества В принадлежат множеству А, то В называется подмножеством множества А и пишут:
BcA (или AdB). Очевидно, что если В С А и А С В, то А = В.
Обычно удобнее рассматривать все множества, участвующие в каком-либо рассуждении, как подмножества некоторого фиксированного множества Ef которое мы будем называть универсальным. Таким образом,
AcE для любого множества А.
Для того чтобы с определенностью говорить о каком-либо множестве А (являющемся, как мы договорились, подмножеством мы должны иметь четкий критерий, правило, условие, свойство, которое дает возможность установить, какие именно элементы входят в А. Если обозначить это условие через Qf, то тот факт, что условие a порождает множество А, будем записывать следующим образом:
A = {а Є Eja}.
Читается это так: множество А совпадает с множеством тех элементов (из множества Е), которые удовлетворяют условию а.
Может оказаться, что для некоторого свойства а во всем множестве E вообще нет элементов, ему удовлетворяющих. Для единообразия считают, что и в этом случае запись
A = {а Є Е\а}
і
определяет особое множество, называемое пустым множеством. Пустое множество не содержит ни одного элемента. Оно обозначается символом 0. В наших обозначениях можно записать, например, так:
0 = {а 6 Е\а ф а}.
Здесь а — это свойство, что а ф а.
9 Для краткости вместо некоторых часто употребляемых выражений общепринято использовать особые математические значки, называемые кванторами:
3 — "существует";
31 — "существует строго один элемент" или "существует единственный элемент";
V — "для всякого", "для всех";
