Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
В основу данной части книги положены лекции первого из четырех семестров основного курса математического анализа, читаемого авторами в течение последних лет на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Ее содержание охватывает дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Следует обратить внимание на существенное различие между стилем изложения в учебнике и конспекте лекций. Дело в том, что в учебнике, как правило, доказательство утверждений подготавливается предварительными разъяснениями и примерами, в то время как конспект, в основном, включает в себя формулировки и доказательства. В связи с этим при подготовке курса лекций среди прочих решается и задача выделения необходимого минимума сопутствующего материала, обеспечивающего усвоение основного содержания. Мы стремились соединить доступность изложения, свойственную учебнику, с краткостью конспекта. С математического анализа как учебной дисциплины начинается процесс обучения высшей математике в вузе. Обилие и сложность новых понятий при этом часто подавляют творческое восприятие содержания курса. Для того чтобы правильно сориентировать читателя, мы сознательно допускаем определенную категоричность суждений, имея в виду, что в процессе обучения он сам разберется во всем многообразии связей между различными аспектами предмета.
Преподавание математического анализа в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова подчинено особым требованиям, обусловленным необходимостью подготовки высококвалифицированных специалистов, способных в будущем не только получать новые
5 научные результаты, но и в значительной степени определять мировое развитие математики. В силу этого курс математического анализа, как основа всего математического образования, должен характеризоваться широтой охвата материала, строгостью и полнотой доказательств. Он должен учитывать сЬвременные тенденции развития математики и в то же время отличаться определенным консерватизмом, продолжая традиции преподавания, которые обеспечивают преемственность в сохранении передовых позиций отечественной математической школы. Курс анализа также призван подготовить учащихся к восприятию более глубоких математических понятий.
Авторы стремились прежде всего облегчить процесс усвоения знаний за счет доступного изложения и упрощения доказательств. Здесь следует заметить, что краткость доказательства не всегда говорит о его простоте. Иногда более короткое доказательство бывает малодоступно и, по существу, затрудняет усвоение материала. В то же время, мы исходим из того, что доказательство утверждений и примеры должны отличаться живостью, интересом, убедительностью и особенно краткостью. Для более краткой записи рассуждений и утверждений часто используют символику кванторов. Однако она затрудняет непосредственное восприятие материала и ограничивает возможность следить за логикой рассуждений. Мы стараемся не злоупотреблять этой символикой, чтобы упростить сопоставление отвлеченных понятий со сходными явлениями из внешнего, доступного нашим чувствам, мира, сделать понятия более наглядными.
Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Первые лекции по каждому из предметов, с которых начинается преподавание высшей математики на первом курсе университета (как правило, это математический анализ, алгебра и аналитическая геометрия), бывают посвящены изложению основ теории множеств. Подобный параллелизм создает у части студентов неверное впечатление о предмете математики в целом и затрудняет восприятие материала. К тому же положение усугубляется непривычной абстрактностью этих новых понятий. К сожалению, выделение их в рамки одного предмета представляется нецелесообразным, поскольку в каждой дисциплине факты из теории множеств приводятся в расчете на излагаемый материей! . Обычно в той или иной форме на эту особенность обращается внимание.
Мы выражаем глубокую благодарность Ф. М. Малышеву и А. М. По-лосуеву за многочисленные полезные замечания по содержанию первой части книги.
6 Глава I ВВЕДЕНИЕ
Лекция 1
§ 1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ОТОБРАЖЕНИЯ
И ФУНКЦИИ
Мы приступаем к изучению курса математического анализа. Под термином "математический анализ" подразумевается прежде всего дифференциальное и интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем в XVII в., хотя некоторые основные понятия анализа сформировались гораздо раньше. Сейчас его в значительной степени рассматривают как устоявшуюся, учебную дисциплину. Однако из сказанного не следует делать вывод, что в математическом анализе не осталось тем для научных исследований и глубоких открытий. Дело в том, что составные части математического анализа настолько разрослись, что давно превратились в отдельные математические дисциплины, такие, как теория функций действительного переменного (ТФДП), теория функций комплексного переменного (ТФКП), теория вероятностей, дифференциальные уравнения, математическая статистика, уравнения в частных производных, уравнения математической физики, вычислительная математика и т.д. В широком смысле математический анализ включает в себя все эти области, т. е. почти всю математику.
