Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
22. Частные производные высших порядков. Теоремы о равенстве смешанных производных второго порядка.
23. Дифференциалы высших порядков. Достаточное условие дифференцируемости. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа.
24. Приложение формулы Тейлора. Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточное условие экстремума.
25. Неявные функции. Теорема о неявной функции.
26. Система неявных функций. Теорема теорема о системе неявных функций. Теорема об обратном отображении.
27. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа.
680 Семестр III, экзамен
1. Сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Формулировка критерия Коши. Общий член и остаток ряда.
2. Признаки сходимости рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши, Куммера и Раабе). Интегральный признак Коши - Маклорена. Сходимость ряда дзета-функции Римана.
3. Признаки сходимости Лейбница, Абеля и Дирихле для произвольных числовых рядов.
4. Абсолютная и условная сходимость рядов. Перестановки членов абсолютно сходящегося ряда.
5. Теорема Римана о перестановках членов в условно сходящихся рядах.
6. Теорема о произведении абсолютно сходящихся рядов. Теорема Мертенса о произведении рядов.
7. Теоремы о сходимости двойного и повторных числовых рядов.
8. Равномерная сходимость функциональных рядов. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда. Критерий Коши и признак ВеЙерштрасса для равномерной сходимости функционального ряда.
9. Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости ряда.
10. Теорема Дини о равномерной сходимости функционального ряда.
11. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
12. Теорема о двойном и повторных пределах по базам множеств.
13. Степенные ряды. Радиус сходимости. Теорема Коши Адамара. Теорема Абеля о непрерывности суммы, ряда на отрезке.
14. Бесконечные произведения. Признак абсолютной сходимости. Выражение гамма-функции в виде бесконечного произведения, формула Эйлера и функциональное уравнение для гамма-функции.
15. Непрерывность собственных интегралов, зависящих от параметра. Правило Лейбница. Теорема о равенстве повторных интегралов.
16. Признаки ВеЙерштрасса, Абеля и Дирихле для равномерной сходимости несобственных интегралов.
17. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости несобственных интегралов.
18. Теорема о повторных интегралах с бесконечными пределами. Вычисление интеграла Дирихле.
19. Интегральное представление для гамма-функции Эйлера. Формула дополнения. Формула Стирлинга.
20. Теорема о приближении функции Бернулли тригонЪметриче-ским многочленом.
21. Неравенство Бесселя для строго регулярной функции. Полнота замкнутой ортонормированной системы.
681 22. Теорема о замкнутости тригонометрической системы функций.
23. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье для строго кусочно-гладкой функции.
24. Ядро Дирихле и интегральное представление частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации Римана.
25. Признак Дини для сходимости ряда Фурье. Признаки Липшица, Жордана и Дирихле.
26. Разложение котангенса на простейшие дроби. Представление синуса в виде бесконечного произведения.
27. Ядро Фейера. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса для тригонометрических и алгебраических многочленов.
28. Методы Лапласа и стационарной фазы.
Семестр IV, экзамен
1. Двойной интеграл Римана как предел по базе. Критерий Римана интегрируемости функции от двух переменных по прямоугольнику.
2. Эквивалентность трех формулировок критерия существования двойного интеграла по прямоугольнику! Специальный критерий интегрируемости функции двух переменных по прямоугольнику, связанный с равномерными разбиениями.
3. Критерий измеримости по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры.
4. Эквивалентность двух определений —- обобщенного и через характеристическую функцию множества, — двойного интеграла по ограниченной области, измеримой по Жордану.
5. Критерий измеримости по Жордану плоского множества.
6. Основные свойства двойного интеграла (линейность, интегрирование неравенств, теорема о среднем, аддитивность). Сведение двойного интеграла к повторному.
7. Интегрируемость функции двух переменных: а) непрерывной на прямоугольнике, б) непрерывной и ограниченной на множестве, измеримом по Жордану.
8. Теорема об оценке погрешности при замене приращения гладкого отображения на его дифференциал на компактном выпуклом множестве,
9. Лемма о площади образа выпуклого множества при гладком отображении. Замена переменных в двойном интеграле.
10. Критерий Лебега интегрируемости функции двух переменных но Риману.
11. Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерий сходимости и признак сравнения для несобственного интеграла первого рода от неотрицательной функции.
12. Площадь поверхности. Выражение площади поверхности через двойной интеграл.
682 13. Свойства криволинейных интегралов первого и второго рода. Сведение криволинейного интеграла к определенному интегралу.
