Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
15. Кривые в многомерном пространстве. Теорема о длине дуги кривой.
16. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана.
17. Критерий измеримости множества по Жордану.
18. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой.
19. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции.
20. Определение и свойства меры Лебега. Интеграл Лебега. Интеграл Стильтьеса.
Задачи к коллоквиуму
1. Пусть f(x) G Л[а, 6]. Тогда точки непрерывности функции f{x) на отрезке [а, 6] образуют всюду плотное множество.
2. Пусть f(x) Є Й[а,6]. Тогда для выполнения равенства J^ f2(z) dx == 0 необходимо и достаточно, чтобы J(x) — 0 во всех точках непрерывности функции f(x) на отрезке [а, Ь].
ь
3. Пусть j(x) E Я[а,6]. Тогда функция f(x) удовлетворяет условию lim f |f(x+
і л-»о а
h) - f(x) \ dx = 0.
4. Найти предел Iim — [sin — 4- sin — + ••* + sin ^—] .
F » I « " nJ
5. Пусть f(x) Є C[0,+oo), lim f (x) = А. Найти предел lim fJ }{nx) dx.
ЯЧ» u
6. Пусть /(x) непрерывная периодическая функция с периодом Т. Тогда функцию
X
F{x) = f f(x) dx можно представить в виде суммы линейной функции и периодической функции с периодом Т.
OO
7. Пусть f(x) — многочлен степени большей 1. Тогда Jsin(/(x)) dx сходится.
о
678 І в
8. Пусть /'(х) — монотонна и |/'(х)| > А на [а, 6]. Тогда имеем /sin (/(X)Hr < -J.
9. Пусть /"(х) — непрерывна и j/"(x)j > А на [а,6]. Тогда имеем
ь
/sin(/(x)} dx <
10. Пусть функция /(х) монотонна на интервале (0, а) и существует интеграл
а
JxPf(x) dx. Тогда lim хР+1/(^) = 0.
о J-H-O
ь
11. Пусть /(х) € Я[а, Ь]. Тогда Iim / /(х) sinnx dx = 0.
п-юоа
Ь Ь
12. Пусть /(х) Є Я[а, f>]. Тогда Iim //(x)j sinnxj dx = — //(x) dx.
""^cc а * a
[n/2] 1
13. Пусть /(х)ЄЯ[0,і]. Тогда lim ? ? /(^) = //(x)c*x.
n-+oo " n о
14. Пусть /(x) Є Я[0,1]. Тогда lim + = 0.
15. nlim;(«)(7)(J)...0)2/(n<n+1))=e.
16. Доказать формулу Валлиса тг = Iim ( ^i2nI'',г) —, интегрируя по отрезку
П—ЮО \ — >¦)••/ 1
[0,тг/2] неравенство sin2n+1 х < Sin2n х < sin2n_1 х.
17. Пусть функция /(х) ограничена. Для того чтобы /ЄЯ[а,6] необходимо и достаточно, чтобы для любого є > О и любого S > О множество точек отрезка [а, 6], в которых /(х) имеет колебание больше чем е, можно покрыть конечным числом интервалов, сумма длин которых меньше S (Критерий Дюбуа-РеЙмона).
18. Пусть /,зЄЯ[а,Ь]. Тогда max (/, д) € Я[а, 6] и min {f,g) Є Я[а, 6].
ь
19. Пусть a(t), b(t) Є С[а, Ь] и / (a(t)x'(f) + i>(f)x(i)) dt = O Vr(t) Є C1 [а, 6], х(а) =
а
х(6) = 0. Тогда функция a(t) дифференцируема и a'(f) = 6(t).
со оо
20. При S > 1 имеем ?(5) = 22 = s f Prt dx + + 2' р(х) = 2 -
TI= I 1
21. Hmf (?(,) - 7?) =
22. Пусть f(x) > О и не убывает на [1,+оо), и пусть при х —+оо справедливо
соотношение J du х. Тогда имеем /(х) ~ х при х -+ +оо. і
23. Пусть /(х) >0 на [0,+оо), и пусть при S -+ 0+ справедливо равенство + оо T
J f(t)e~St dt ~ Тогда при T +оо имеем / /(f ?^} ~ Т.
о о
24. Пусть /(xj > О на [а, 6] и / Є Я[а, f>]. Тогда справедливо равенство
\1/п
Iim //п(х) с/х - sup /(х).
V« /
Семестр II, экзамен
1. Критерий Римана интегрируемости функции на отрезке
2. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману.
3. Интеграл Римана как предел по базе. Классы интегрируемых функций.
679 4. Основные свойства определенного интеграла. Аддитивность интеграла.
5. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла.
6. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля.
7. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
8. Первая и вторая теоремы о среднем значении.
9. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
10. Неравенства, содержащие интегралы,
11. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
12. Определение несобственного интеграла. Критерий Коши ,и достаточное условие сходимости несобственных интегралов.
13. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Специальные признаки сходимости.
14. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле.
15. Кривые в многомерном пространстве. Теорема о длине дуги кривой.
16. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана.
17. Критерий измеримости множества по Жордану.
18. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой.
19. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции.
20. Непрерывные функции в Mn. Дифференцируемые функции в En. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
21. Теорема о дифференцировании сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования. Производная по направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала.
