Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
12. Понятия дифференциала и производной функции. Геометрический смысл производной и дифференциала. Односторонние производные. Связь дифференцируемости и непрерывности функции^
13. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциремость решения уравнения Кеплера.
14. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производные элементарных функций.
15. Производные и дифференциалы высших порядков. Формулы Лейбница и Балле Пуссена.
16. Теорема Дарбу о возрастании функции в точке. Теорема Ролля о нуле производной. Теоремы Коши и Лагранжа о конечных приращениях.
17. Теорема Ферма об экстремуме функции. Теорема Дарбу о промежуточном значении производной. Теорема о точках разрыва производной на интервале.
Задпчи к коллоквиуму
1. Доказать, что a) lim = 0 (а > 1, тг > 0), 6} lim = о (а > 1, е >
X-+ + оо ° .г-++ оо х
0).
2. Пусть функция f{x) ограничена на любом интервале (1,6), Ь > 1. Тогда
а) Hm Hf = lim (/(х + 1)-/{*)); 6) Iim (Дх))1/*= Iim (/{*)>
х—v+oo Л х-»- + оо я-+ + оо X—+ + оо IK*)
ОО).
3. Пусть функция /(х) ограничена на любом интервале (l,f>), Ь > 1, и пусть lim (/(х + 1) — f(x)) = оо. Тогда Iim ІІ2І. — оо.
I—Ь+ОО X —^ + ОС х
4. Пусть при X > 1 задана последовательность вещественноэначных функций /i (x)t І2(х), ¦¦ ., fn{z), ¦ ¦ • • Тогда найдется функция J(x)t растущая быстрее любой из этих функций При X —+оо.
5. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [а, 6]. Тогда функции
{.—с, если f(x) < —с,
j(x), если |/(х)! < с, с, если J{x) > с,
где с > О — любое вещественное число,
тп(х) = inf /(у), М(х) — sup /(у), а<у<х а<,у<х
676 также непрерывны.
6. Пусть /(х) непрерывна и ограничена на интервале (а,+оо). Тогда для любого числа T найдется последовательность хп —? +оо, такая, что Iim ( f(x +
X-H-OOwl
T}-/(xn)) = 0.
7. Пусть /(х) непрерывна на отрезке [а, 6] и а = Xo < Xy < ¦ • • < Xn = Ь. Тогда существует точка ? Є (а, 6), такая, что /(O = .
8. Для того, чтобы функцию /(х), непрерывную на конечном интервале (а, Ь), можно было продолжить непрерывным образом на отрезок [а, 6] необходимо и достаточно, чтобы функция /(х) была равномерно непрерывна на интервале (а, 6).
9. Пусть функция f(x) определена на всей числовой оси, непрерывна хотя бы в одной точке, периодична и отлична от постоянной. Тогда она имеет наименьший положительный период.
10. Пусть функция /(х) непрерывна на всей числовой оси, отлична ог постоянной и удовлетворяет функциональному уравнению "/(х + у) = /(х)/(у). Тогда /(х) = ах, где а = /(1). В этой задаче условие непрерывности можно заменить на условие ограниченности функции на любом интервале (0, а).
11. Доказать, что функция
Z(X)=J е_1/*2' е0ЛИ 3^0'
[ 0, если т = 0,
бесконечно дифференцируема при х — О.
12. Привести пример функции, определенной на всей числовой оси, непрерывной и разрывной почти всюду на ней.
13. Пусть уравнение x3+px+g = 0, р, q 6 К имеет три различных вещественных корня. Тогда р < 0.
14. Пусть функция /(х) имеет производную (п—1)-го порядка на интервале (а,Ь), п раз дифференцируема на отрезке [а, 6] и справедливы равенства /{хо) = /(^l) = • •' = f(xn) (а = X0 < Xi < - - • < xn = Ь).
Тогда существует точка ?€(а,6), такая, что /^(0 = 0.
15. Пусть функция f(x) дифференцируема на [l,+oo) и Iim /'(х) = 0.
T + OO
Тогда lim Uii = 0. И наоборот, если f(x) = о(х), то Iim |/'(х)[ = О.
х-».+ оо * . х-++OO
16. Пусть функция /(х) непрерывна на [а,+со), /(а) < О и при некотором положительном к для всех X > а выполняется неравенство /'(х) > .к Тогда уравнение /(х) = О имеет единственный корень в интервале (а, а — У(ct)/Ar)-
17. Пусть функции /(х) и ^(х) дифференцируемы п раз прц х > хо, пусть также
/0®о) = ${®о). /(fc) M = ^fcU1O) при A=I.....та — 1 и /(п)(г) > 0<п}(®) при всех
X > Xо- Тогда при х > хо справедливо неравенство /(х) > д(х).
Семестр II, коллоквиум
1. Критерий Римана интегрируемости функции на отрезке
2. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману.
3. Интеграл Римана как предел по базе. Классы интегрируемых функций.
4. Основные свойства определенного интеграла. Аддитивность интеграла. 5. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла.
6. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля.
7. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
8. Первая и вторая теоремы о среднем значении.
9. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
10. Неравенства, содержащие интегралы.
11. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
12. Определение несобственного интеграла. Критерий Коши и достаточное условие сходимости несобственных интегралов.
13. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Специальные признаки сходимости.
14. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле.
