Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
N
n = l
где
N
Г/v — N(e2irim^n+l~yn) - e2*imrn+1^ _
n-l
Отсюда получим
SN{\~~e2nima) = rN + N-l{e2*imXN+' -e2,rimx').
Правая часть последнего равенства стремится к О при JV —у оо. Действительно, имеем
N N N
Invi < N-1 ? - 1] = - ? I Sin7TmynI < гтгІтІАГ-1 ? |Уп|.
п — 1 п=:1 П = 1
669 Воспользуемся тем, что Iim |уп| = 0. Получаем
П—ЮО
A "-1Ew = 0-
TJS=I
Поэтому имеем lim г^ — 0.
N-tOQ
Так как 1 — e2*trna ф 0 (ввиду иррациональности числа а), то
lim Sjv — 0, а это и означает, что последовательность {хп} раВНО-
JV->¦ оо
мерно распределена по модулю 1.
3. Пусть (Fn) — последовательность чисел Фибоначчи: Fi = 1, F2 = 1, Fn+i = Fn + Fn _! при п > 2. Тогда последовательность (InFn) равномерно распределена по модулю 1. Действительно, для Fn имеет место формула
Отсюда получим
.. Fn+! 1 + Vb
lim —-— = —--— а.
п > оо Fn 2
Следовательно, при п —> оо имеем, что
In Fn+і — In Fn —У In о;,
поскольку число Ina является иррациональным.
Значит, в силу утверждения примера 2 последовательность {In Fn) равномерно распределена по модулю 1.
4. Пусть lim / (ж) = а — иррациональное число. Тогда последо-
X —f оо
вательность {/(п)} равномерно распределена по модулю 1.
В самом деле, из теоремы Лагранжа о конечных приращениях имеем
lim A fin) — а.
Tl—>оо
Отсюда, используя утверждение примера 2, получим, что {/(п)} равномерно распределена по модулю 1.
Прежде чем рассматривать следующий пример, докажем неравенство Г.Вейля - ван дер Корпута.
Лемма. Пусть Ui,..., иn — любые комплексные числа, H — натуральное число, 1 < H < N. Тогда справедливо неравенство
2
H'
V1^
1<п<ЛГ
< H(N 4- Я — 1) J2 І"«!2+
l<n<N
670 H-1
+2(iV + Я - 1) ^(Я - h)
к=і
У^ unun+h
l<n<N — h
Здесь й обозначает число, комплексно сопряженное к числу и. Доказательство. Для удобства рассуждений определим числа ип для всех целых значений п следующим образом: ип = 0 при п < 0 и при ті > N. Тогда имеет место равенство
N N+H—1H-1
^Ylun = Yl Yl u^-
п— 1 п = 1 т=0
Возводя обе части этого равенства в квадрат, и, пользуясь неравенством Коши:
|Еал,3< EM2Eim2,
получим
я
N
Tl=I
< {N + H- l)W,
где
АГ+Я-1
W= E
п = 1
H-1
т=0
Преобразуем сумму W. Для этого выделим сумму "диагональных" членов W\ и сумму "недиагональных" членов Wi. Имеем
H-1H-IN+H-1
И7 = E E Yl
йп-к = Wi + W2,
т~0 Jfc=O п=1
где
H-1
т=0
JV+Я-І
E
т
п = 1
W+tf-l
W72= ЕЕ K-">«n-.A + «„_mun_fc).
O<m<k<H-1 n = l
Очевидно, справедливо равенство
N+H-1 ЛГ
E ип-т = E Url)
« = 1 n = l
671 поскольку un ~ 0 при п < 0 и при п > N. Поэтому
W1 = H
N
Ylun
M=I
Преобразуем сумму W2. Для этого обозначим п — т = 1,п — к = l + h. Получим
H- 1 Я~т~1N-h
^2 ~ Yj YL Yl iUlUl + h + UjUl + h).
m-0 h = l I-1
Меняя порядок суммирования по h и по m в сумме W2, и, переходя к неравенствам, имеем
H- 1 H — h—1
1^1<2Е E
Л = 1 гп=0
N-h
YZ ulul+h
I=I
tf-1
2]Г(Я-Л-1)
Л=1
N-h
Y2 unUn+h
Лемма доказана.
5. Пусть для любого фиксированного натурального числа h последовательность {жп+/і — хп] равномерно распределена по модулю 1. Тогда {яп} равномерно распределена по модулю 1.
Зафиксируем целое число т, отличное от нуля,, и натуральное число Н. По неравенству Г.Вейля - ван дер Корпута имеем
1 N L ^T—>
,2яiIiwn
П = 1
<
H+ N- 1
Wn
H-1
+ E
h~ 1
(Н + N ~ 1),(Я - К) H2N
- N-h
- У
N z^
П = 1
,2л-
При любом фиксированном h > 1 последовательность {жп+д — Zn) равномерно распределена по модулю 1, следовательно, по критерию Г.Вейля при N —? оо 1
, N-h
_ V^ е2ігіт(агп+л-хп) Q
N ^
n = l
Устремляя N к бесконечности в предыдущем неравенстве, получим
Iim
JV-+оо
N
N
E
П = 1
1
* н-
672 В силу того, что последнее неравенство имеет место для сколь угодно больших H1 имеем
1 N
lim AVe2^=O1
JV-+оо N
п = 1
а это и означает, что {xn} P-P- mod 1.
6. Пусть к > 1 — некоторое фиксированное число. Пусть также предел
lim AkXn — а
П—ЮО
является иррациональным числом. Тогда последовательность —
равномерно распределена по модулю 1.
Доказательство утверждения получается по индукции по параметру к. При к = 1 оно совпадает с утверждением примера 2. Предположим, что это утверждение- верно при к = т. Докажем его при к ~ m + 1, Имеем
Ад(Атхп) = Amxn+h - Атхп = = Am+1xn + Am+1xn+i + • • - + Aw+1xh+/l_i. Отсюда при фиксированном h > 1 и при п оо получим
Ah(AmXn)-+ha,
причем ha — также иррациональное число. Заметим теперь, что
Azl(AmXn) = Am(AzlZn).
В силу предположения индукции, примененного к последовательности IAzlXn), имеем, что последовательность |Адхп) равномерно распределена по модулю 1 при любом фиксированном h > 1.
Следовательно, из утверждения примера 5 имеем, что последовательность {хп} — равномерно распределена по модулю 1. В частности, отсюда следует, что последовательность значений многочлена f(n) со старшим коэффициентом, являющимся иррациональным числом, будет равномерно распределена по модулю 1. Примерные вопросы и задачи к коллоквиумам и экзаменам
