Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
о 3
D0 OO
2. Пусть поверхность ?> задается уравнением z = tp(x,y), где <р(х,у) - гладкая функция, (х,у) € Do, и интегрирование ведется по верхней стороне поверхности D, т.е. в этом случае cos Z > 0. Обозначим эту сторону через DТогда
J J h(x, у, z)dx f\dy = J J h(x,y,<p(x,y))dxdy.
D+ D0
§ 5. СОГЛАСОВАНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ
ГРАНИЦЫ
По существу мы дали определение поверхностных интегралов только в случае, когда область Dq является квадратом. Для интегралов первого рода это определение тривиально распространяется на случай поверхностей, составленных из отдельных частей, каждая из которых есть гладкий образ некоторого квадрата, и соприкасающихся между собой по общим участкам границ. Тогда поверхностный интеграл первого рода понимается как сумма интегралов по составляющим ее частям. Стандартными рассуждениями мы переходим от специального случая к определению поверхностного интеграла для произвольного измеримого по Жордану компакта Dq. Более того, таким образом мы можем рассмотреть интеграл первого рода по поверхностям, которые являются границей пространственных тел, например, по поверхности куба или шара в трехмерном пространстве. Во всех этих случаях будем считать, что понятие интеграла по таким поверхностям уже определено и верна теорема о его сведении к двойному интегралу.
Определение 1. Поверхность D называется кусочно-гладкой, если она связна и является объединением конечного числа гладких поверхностей, каждая из которых есть образ выпуклого плоского множества, имеющего кусочно-гладкую границу. При этом общие точки у любых двух поверхностей (если они есть) обязательно принадлежат образам границ, указанных выше плоских множеств.
618 Определение 2. Интеграл первого рода по кусочно-гладосоЙ поверхности равен сумме интегралов по ее гладким частям.
Более сложная ситуация имеет место в случае интегралов второго рода по кусочно-гладкой поверхности, так как здесь необходимо согласовывать ориентацию ее частей. Рассмотрим этот случай.
Нам будет нужен ряд новых определений.
t
Определение 3. Границей L = dD гладкой поверхности D
называется образ границы А = ODq множества Dq, которое отображается в D при ее параметризации г. При этом считаем, что А есть кусочно-гладкая замкнутая кривая без кратных точек, а множество D о — выпукло.
Замечание. Очевидно, что поверхность D может быть плоской, и при этом не обязательно быть выпуклым множеством. Так что выпуклость не является существенным ограничением. Поэтому можно считать множество Dq образом выпуклого множества.
Определение 4. Будем говорить, что параметризация г поверхности D отвечает ориентации ее границы L = dD (или
"согласована" с ориентацией ее границы), если при этой параметризации г ориентация кривой L порождается положительной ориентацией ее прообраза Л (границы множества Do — прообраза поверхности D).
Замечание. Если т = rt/|rf| — касательный вектор к кривой L в точке А, отвечающий ее параметризации, и n = п(г) — вектор нормали к поверхности D в точке А, то согласованность ориентации кривой L и ориентации, отвечающей параметризации г, означает, что "обход" кривой L относительно вектора п совершается "против часовой стрелки". Другими словами, вектор 6 = [г, п]) является нормалью кривой L, лежащей в касательной плоскости к поверхности D и "внешней" по отношению к проекции D на эту касательную плоскость. Это полностью отвечает определению согласованности ориентации в плоском случае.
Определение 5. Будем говорить, что кусочно-гладкая поверхность D является двусторонней поверхностью с выделенной стороной, если параметризации ее разных кусков выбраны так, что общие участки границ этих кусков при указанных параметризациях ориентированы в противоположных направлениях.
Пример. Пусть поверхность D является плоской и лежит на плоскости хОу. Рассмотрим верхнюю сторону D и пусть D = D\ U ?>2- Тогда ориентация поверхностей D,D\,Di будут согласованы с ориентацией их границ L,L\,L2, если все эти кривые "обходятся
619 против часовой стрелки". При этом ясно, что общий кусок границ Li и L2 ориентирован в противоположных направлениях для каждой из них.
Поясним определение "согласования" ориентации поверхности D и ее границы L = dD.
Пусть задана параметризация г поверхности D, являющейся образом. плоского множества Dq. Пусть также параметризация и = u(if), v = v(t) задает границу Л = BDq и порождает положительную ориентацию. Тогда параметризация границы L : г = r(t) = r(u(t),v(t)) задает с помощью вектора т направление обхода контура (кривой) Lt которое мы называем согласованным со стороной поверхности D. Пусть
задана любая другая параметризация p(tі) кривой L. Тогда вектор
j
ті = T^fV задает обход контура L. Если векторы тип совпадают, IPt11
то мы говорим, что ориентация поверхности D и ориентация кривой L, заданная параметризацией /5(<і), будут согласованы или отвечают параметризации г.
Теперь дадим определение поверхностного интеграла второго рода.
Определение 6. Поверхностным интегралом второго рода от функции /г(г) по выделенной стороне двусторонней кусочно-гладкой поверхности D называется сумма соответствующих поверхностным интегралов по всем, составляющим поверхность D, гладким кускам.
