Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Такое название вызвано тем, что вектор h перпендикулярен касательным векторам й и г2. В частности, при (и, и) = (ukj,vkj) имеем, что вектор п перпендикулярен к касательной плоскости Rkj.
Заметим, что если S — длина стороны квадрата Pkj, то Rkj представляет собой параллелограмм и его площадь p(Rkj) равна Щп і где касательные к поверхности D векторы T1 и г2 взяты
в точке r(ukj,Vkj).
Заметим также, что если задана другая параметризация р поверхности D, то всегда выполнено одно из равенств, п(г) == п(р) или
614 п(г) = — п(р). Следовательно, функция f(u,v), равная скалярному произведению векторов п(г) и fi(p) принимает всего два значения +1 и —1. Но эта функция является непрерывной на Dq. Отсюда имеем, что она либо тождественно равна 4-1, либо тождественно равна — 1. Это означает, что при замене параметризации определенная нами нормаль к поверхности D либо не меняется во всех точках D1 либо меняет свое направление сразу во всех точках D. Поэтому говорят, что нормаль к поверхности, отвечающая некоторой параметризации этой гладкой поверхности без особых точек, выделяет на ней ее сторону. Поверхность с выделенной стороной называется двусторонней поверхностью.
Определение 2. Выделение одной из сторон поверхности D с помощью параметризации называется ориентацией поверхности D.
Далее, пусть на поверхности D задана функция h(r) от трех переменных г = (х, у, z). Рассмотрим следующие четыре интегральные суммы, отвечающие размеченному разбиению V :
kti
k,i
Отсюда имеем, в частности, следующие выражения:
<ri(V) = h(rk,i)p(Rk,i) cos X = ^2н(гк,і)А(икіі,ьк>і)62, к,і
кЛ
где
cos X = (n,ei), A(u,v) =
Уп Zu y'v *V
Аналогично можно записать (T2(V)yO-^(V), с заменой cos Л" на cos У = (n, ё2), cos Z = (п, ёз) и с заменой A = A(u,v) на
В = B(u,v) =
zU xU I I
zv xv
,C = C(u,v) =
xU Уи
x'v y'v
Заметим, что вектор нормали п можно представить в следующем виде:
21*
615 Определение 3. Если существует предел Io при Ay —У 0 интегральной суммы (To(V)1 то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции h(r) по поверхности D. Этот интеграл обозначается так:
Io = f J h{r)dS.
D
Определение 4. Если существуют пределы /1,/2,/3, при Ay -)-0 интегральных сумм <т\ (V)1ol2(V)1 C3(V), то они называются поверхностными интегралами второго рода от функции h(x,y, z) по стороне поверхности D1 отвечающей параметризации г = r(u,v).
Для интеграла второго рода вводятся следующие обозначения:
Z1 = J J h(f)dy Adz1I2 = J J h(r)dz Adx1I3 = J j h(r)dx A dy. DDD
Здесь знак Л ставится для того чтобы отличить поверхностный интеграл второго рода от обычного двойного интеграла по плоскому множеству D. Часто этот знак опускается (в тех случаях, когда это не ведет к двусмысленности).
Отметим еще, что вместо дифференциальных форм, участвующих в интегралах /1,/2,/3, можно ввести форму
W = Pdy Adz-f Qdz Adx + Rdx A dy
и рассмотреть интеграл второго рода от этой дифференциальной формы I = JJu.
D
Приведем два свойства введенных интегралов первого и второго рода. Они вытекают непосредственно из их определений. 1°. Справедливо равенство
-H
Pdy Adz + Qdz Adx + Rdx Ady =
D
(Pcos Л" + Qcosy + Rcos Z)dS, D
где COsX = (п, Єі),СОвУ = (ті, ё2), COS Z = (п, ёз).
2°. Teope Mal (о сведении поверхностного интеграла к двойному интегралу). Пусть функция Л (г) непрерывна на гладкой,
616 невырожденной (без особых точек),измеримой по Жордану, компактной поверхности D. Тогда имеют место равенства
I0 - JJ h{r)dS = JJ h(f(u, v))Vfdudv, T = EG-F2;
D
D о
I = JJ Pdy Adz + Qdz Adx + Rdx Ady =
D
= JJ{PcosX+ QcosY + RcosZ)dS = JJ{PA + QB + RC)dudv.
D D
Доказательство. В отличие от криволинейных интегралов здесь по существу нечего доказывать., так как функции под знаками интегралов являются интегрируемыми, ввиду их непрерывности на компакте D. И поэтому при Av 0 соответствующие интегральные суммы Cq(V), ..., ^(Vr) обязаны сходиться к значениям этих интегралов. Теорема 1 доказана.
Замечание. Можно было бы дать определения поверхностных интегралов и в п-мерном пространстве, но они несколько сложнее, и, в основном, из-за понятия ориентации. К ним мы вернемся позже.
Примеры. 1. Рассмотрим поверхность D — "внешность" верхней полусферы X2 + у"2 + Z2 = I. Ее можно представить как образ круга Do = {(х, у)\х2 + у2 < 1} при отображении
X
= Х,у zz у, Z - - (х2 + у2).
Покажем, что h = п{г) = г. Действительно, для параметризации г=г(х,у) имеем
Tg= 1,0,
X
\/1 - X2 - у:
rv= 0,1,
У
yj\ — X2 — у:
[Kr. =
еі Є2 1 0
Єз
x
= Єї
Следовательно,
X
y/l - X2 - у2
0 1 -+ ё2
\/l —х2—у2
у
\J\ — X2 — у1
+ е3.
^ / [ГХ» гу] / >
П(Г) - мг=' Jin = (х> У» z) - г•
-і —і Г г
' Xi ' и
617 Вычислим теперь интеграл I = JJ zdx Л dy. Применяя теорему 1,
D
получим
iff 7ґІЯ f f ydxdy
I=I Iz cos Zdb =Ifz cos Z -.-—г =
JJ JJ IcosZi
D0 D о
2тг 1 .
1 2тг
J J z(x,y)dxdy = J d<p j \/l - r2rdr = -2тг|(1 - r2)3'2
