Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы доказать формулу Грина, которая устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутой кривой L = 3D, являющейся границей области D, и двойным интегралом по этой области. Для простоты будем рассматривать случай выпуклой области D.
Теоремаї (формула Грина). Пусть D — выпуклый, измеримый по Жордану, компакт, граница L — 3D которого является замкнутой невырожденной кусочно-гладкой кривой. Пусть также функции P(х, у) и Q(x. у) непрерывны на D и имеют там же непрерывные частные производные и Ъх- Тогда справедлива формула
где кривая L обходится в положительном направлении.
Доказательство. Мы докажем только равенство
А.
L
D
L
D
610 Равенство же
J Qdy = JJ
dQ
dxdy
дх
L D
доказывается аналогично.
Пусть отрезок [а, 6] является проекцией области D на ось Ох. Через точки (а,0) и (6,0) проведем вертикальные прямые х = а и х = b. В силу выпуклости множества D граница его L = OD разбивается на четыре участка: отрезки Li и Ьз, лежащие на прямых х = а и х = b (каждый из них может состоять только из одной точки), и кривые L2 и L4, лежащие в полосе между этими кривыми.
На кривых Ь\ и Ьз величина х постоянна, поэтому
Jpdx-J
Pdx = 0.
L і Lz
Всякая прямая х = Xq при xQ E (а, Ь) пересекает (в силу выпуклости D) каждую из кривых L2 и L4 строго в одной точке, которые обозначим соответственно <pi (жо) и Ip2(Xo)i т.е. кривая L2 является графиком функции y = (fi(x), а кривая L4 — графиком функции у = (р2(х).
Заметим, что из кусочной гладкости кривой L следует кусочная гладкость функций <pi(x) и <р2(х).
Из теоремы о выражении криволинейного интеграла через интеграл Римана имеем
ь ь
j P(x,y)dx = J P(x,<pi(x))dx, j P(x:y)dx = - J Р(х, <p2(x))dx.
L2 a L 4 а
Отсюда получим
b
J Р(х} y)dx = J(Р(х, <рх(х)) - Р{х, <p2(x)))dx = Я. LiUL4 а
Поскольку функция ^ непрерывна на D, по теореме Ньютона -Лейбница имеем
[ дР
P(x,tfi(x)) - P(x,ip2(x)) = - / —dy.
ду
ч>Лх)
Следовательно,
Ь
H=-Jdx J did»=~ Jf9idxdy-
a 4>i(x) D
611 В силу того что
J Pdx= J Pdx = О,
Li L3
справедлива формула H = § Pdx.
L
Тем самым, теорема 1 доказана.
Заметим, что в силу аддитивности интеграла формула Грина верна для областей, являющихся конечным объединением выпуклых областей.
Примеры. 1. Площадь области D выражается согласно формуле Грина через криволинейный интеграл в следующем виде:
p(D) = j> xdy = — j> ydx = ^ I xdy — ydx. LLL
2. Пусть (p : Do —> D — гладкое взаимно однозначное отображение двух плоских областей. Пусть также якобиан этого отображения I = не меняет знак в области Dq и <p(dDo) = 3D. Кроме того,
я3
пусть непрерывна на Dq. Тогда, исходя из формулы примера 1,
проведем вычисление меры области D. Имеем
p(D) = j> xdy. dD
Далее, пусть задана параметризация вида и = u(/), v = v(t), a <t < bt кривой oDq. Тогда соответствующая параметризация кривой dD задается уравнениями х = z(u(?), v(t)), у = y(u(t),
Из выражения криволинейного интеграла через интеграл Римана получим
dD а а
Но последний интеграл можно представить как интеграл по кривой ODq. Имеем
„<n)=./.(?*+g4
dDu
где є = +1, если кривые ODq и 3D имеют одинаковое направление обхода, и —1 в противном случае.
612 Преобразуя последний интеграл, используя формулу Грина, получим
dDa
p(D)= Є ф [ x^du + x^f-dvj =
J J {du {хdl) dv{xd D0
el / ( ( ] _ ^L [ dudv =
D0 D0
Поскольку якобиан I не меняет знака и величина p(D) неотрицательна, то єI = |/|. Поэтому имеем
p(D) = JJ Wudv.
D0
Таким образом, мы получили формулу для вычисления в криволинейных координатах площади плоской области.
21 Лекции по математическому анализу Лекция 12
§ 4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим гладкую поверхность Db®3. Будем считать, что она невырождена во всех своих точках, т.е. при ее параметрическом задании г = r(u, v), где г = (х,у, z),(u,v) Є Do, ранг ее матрицы Якоби максимален и равен двум.
Допустим сначала, что область Do является квадратом. Возьмем его размеченное разбиение V на равные квадраты Pkj с разметкой (ukj,Vkj), = 1,...,п. Здесь точка (ukj,vkj) — вершина левого нижнего угла квадрата PklI со стороной 6. Рассмотрим область Dk,і — элемент поверхности D, соответствующий квадрату Pkj, т.е. Dkj = f(Pkj). Рассмотрим также множество точек Rkj — часть касательной плоскости к поверхности D в точке rkj = r(ukii, vk і), отвечающую квадрату Pkj.
На поверхности D в точке f = v), (и, г) Є Do, определены два касательных вектора к ней fj и r2, являющихся первым и вторым столбцами матрицы Якоби Jf(u,v), т.е.
;U(«,V)= ,T2 = Ttf(V1V) =
В силу условия невырожденности матрицы Якоби имеем, что для любой ТОЧКИ (и, и) Є D векторное произведение [Гі,Г2] отлично от нуля. Заметим, что особыми точками поверхности называются такие ее точки, в которых ранг ее матрицы Якоби меньше двух.
Рассмотрим вектор
[п,г2]
п
Ц[гьг2]Н
Определение 1. Вектор п = n(r) будем называть нормалью к поверхности D, отвечающей параметризации r = r(u,v).
