Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
В частности, интеграл J1 не зависит от того, какую точку А или В считать началом, а какую — концом кривой L (параметризации в этом случае можно определить, например, соотношением t = а+ 6 —и).
В то же время имеет место равенство f — — J , т.е. величина
ab ba
интеграла зависит от выбора направления обхода кривой L.
Рассмотрим две параметризации кривой L : г = r(t)}t Є [a, b] и її = T1(U),« (Е Пусть t = ?(u) — гладкое отображение отрезка
[(I1, &і] на отрезок [а, Ь]. Тогда имеем гі = T1(Ii) = r(f(u)),;ci = z(?(u)).
Отметим, что производная t (и) имеет один и тот же знак на всем отрезке [ai, 61]. В противном случае по теореме Вейерштрасса существовала бы точка и0 € Ja1, ^1], такая что t (uq) = 0. Но тогда T1(U0) = • t (uo) = 0, и кривая L имеет особую точку, т.е. она
является вырожденной, что на самом деле не так.
Поскольку при отображении t = t(u) концевые точки отрезка [ati,&i] переходят в концевые точки отрезка [а,Ь], при t (и) > 0 имеем Jfa1) = att(bi) = 6. Действительно, из теоремы Лагранжа при некотором ? Є [ai,bi] имеем t(bi) - t(ai) = t К)(Ьі — ai). Следовательно, t(b 1) > ^a1), а это и означает, что <(oti) = a,^t1) = b.
Далее воспользуемся теоремой 1 и теоремой о замене переменной в интеграле Римана. Получим цепочку равенств
б
J g(r)dx = J g(r(t))x' (t)dt =
l а
Ьі ЬІ
= J9{r(t(u)))X (t(u))t (u)du = jg(ri(U)Jar1 (u)rfu = Jg(fi)dxь
ai ai l
В случае t'(u) < 0 иі^еем ^a1) == b,t(b\) = a. Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что при переходе в этом случае от одной параметризации к другой параметризации справедливо равенство
jg(f)dx — ~ J 9(ri)dx 1.
l l
Аналогичные свойства для криволинейных интегралов имеют место в пространствах размерности большей двух. Например, в трехмерном случае имеем
ь
Jд(х, у, z)dl = Jg(x(t),y(t), z(t))yj(x'(t))* + (t/(*))2 + (z'(t))4t,
607 ь
j Pdx + Qdy + Rdz = J(Px (t) + Qy (t) + Rz (t))dt =
AB
= j (P cos ot\ + Q cos Ct2 + R cos ot^dl, L
где T = f'/|f'|,cosafc = (f,e*),fr = 1,2,3.
На этом мы завершаем изучение общих свойств криволинейных интегралов. Лекция 11
§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ ФОРМУЛА ГРИНА
В силу аддитивности интеграла второго рода для любых кривых L\ = AB и L2 = ВС в случае, когда кривая L = L\ U L2 не имеет кратных точек, получаем
По этой же формуле определяется и понятие интеграла по кривой L в том случае, когда точки А и С совпадают. В этом случае объединение кривых L = L1UL2 называется замкнутой кривой. Дадим точное определение.
Кривая L называется замкнутой кусочно-гладкой кривой (без кратных точек), если:
2) Lj и І2 — кусочно-гладкие кривые, концы которых совпадают;
3) других общих точек кривые Li и L2 не имеют.
Если на кривой L\ задано направление обхода, т.е. задана начальная точка А и концевая точка 5, и если на кривой L2 за начальную точку принять В, а за концевую точку A1 то на кривой L будет задано направление обхода в том смысле, что для любых трех различных точек Ai, A2, A3 Є L всегда будет иметь место один из двух порядков следования точек: Ai А2 A3 Ai или AiA3А2Ai.
Поскольку на любой замкнутой кривой L имеется в точности два направления обхода, одно из них, естественно, считать положительным, а другое — отрицательным.
Заметим, что при этом для интеграла I от дифференциальной формы Pdx + Qdy по замкнутой кривой L} взятому в положительном направлении, используется обозначение
Дадим определение того, как выбирать положительное направление обхода замкнутой кривой. Сначала рассмотрим важный пример окружности L : х2 + у2 = 1. За положительное направление обхода окружности берется "направление обхода против часовой стрелки". Оно определяется так. Разобьем окружность на верхнюю полуокружность Li : я2-|-у2 = 1,з/ > 0, и нижнюю полуокружность L2. На верхней
ab
ВС
AC
1) L = LiUL2]
l
20 Лекции по математическому анализу
609 полуокружности за начало отсчета возьмем точку А с координатами (1,0), а концевой точкой будем считать точку В, а для нижней полуокружности L2 за начальную точку возьмем В, а за концевую точку
Ясно, что на окружности L можно однозначно задать направление обхода, указав в любой произвольно взятой на ней точке А касательный вектор т.
Будем рассматривать окружность L на плоскости хОу в пространстве E3. Пусть в каждой точке ее заданы п — вектор внешней нормали к окружности, лежащий в плоскости хОу, f — касательный вектор к ней. Если орт ёз, направленный по оси Ozi совпадает с векторным произведением [n,f], то будем говорить, что вектор T задает положительное направление обхода окружности L.
Это свойство окружности мы положим в основу определения положительного направления обхода общей кривой L.
Определение 1. Пусть замкнутая кусочно-гладкая кривая L без кратных точек является границей выпуклого множества D на плоскости хОу. Пусть ё3 — орт, направленный по оси Oz. В каждой точке кривой L зададим касательный вектор т и вектор внешней нормали п. Будем говорить, что на кривой L задано положительное направление обхода, если вектор ёз совпадает с векторным произведением
