Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 174

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 201 >> Следующая


Сделаем некоторые допущения. Пространство, в котором задана кривая L, будем для простоты считать двумерным. Саму кривую L будем считать кусочно-гладкой, т.е. ее можно разбить на конечное число гладких кусков (участков). Будем рассматривать только один такой кусок.

Как известно, кривая L является образом некоторого отрезка [а, 6] при отображении г = r(t),t Є [а,6], где f(<) = (x(t),y(t)), причем ж(<) и y(t) — гладкие функции на отрезке [а, 6]. Кроме того, внутренние точки отрезка переходят во "внутренние" точки кривой, а концы отрезка — точки а и b — переходят в граничные точки кривой А и В, т.е. f(a) = А,г(6) = В. Будем предполагать, что кривая L невырождена, т.е. не содержит особых точек. Другими словами, для любого t Є [а, Ь] вектор г (<) отличен от нуля.

Пусть T — размеченное разбиение отрезка [а, 6] : а = to < ti < < tm = ь, 6 ,-.-,fm — точки разметки, хк = ук = у(6)>

к = 1,..., m; Alk — длина части кривой L, которая является образом отрезка Ak = Для рассматриваемой кривой L длина кривой

выражается по формуле

tk

Alk= j <J(x'(t))i + (y'(t))4t. tk-1

Пусть функция д(х}у) определена на кривой L.

Определение 1. Если существует предел при Ат —> 0 интегральных сумм

m

<Г\(Т) - д{хк,Ук)А1к, к=1

то он называется интегралом первого рода от функции д(х, у) по кривой L.

603 Этот интеграл обозначается так:

h = J g(xty)dl.

L

Рассмотрим интегральную сумму C2(T), где

т

Vi(T) ~ Y9(Xk,yk)Axk,Axk = x(tk) ~ x(tk~1)'

к=г

Определение 2. Если существует предел I2 интегральных сумм C2(T) при At 0, то он называется интегралом второго рода от функции д(х,у) в направлении от А до В.

Обозначается этот интеграл символом

h - J g(x,y)dx.

AB

Аналогично определяется еще один интеграл второго рода

h = J g{x,y)dy.

AB

Для интегралов Z2 и /3 обычно употребляют обозначения

h= J P(x,y)dx, h= J Q(x, y)dy.

AB AB

Выражение

I

AB

называется общим криволинейным интегралом второго рода по кривой L = AB от линейной дифференциальной формы Pdx -I- Qdy (здесь кривая обозначается своими начальной и конечной точками).

§ 2. СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ X. Пусть X = x(t) — постоянная величина. Тогда имеем

= J P{xyy)dx + Q{x,y)dy

I2 = J P{x}y)dx = 0.

AB

Действительно, так как для любого разбиения T величина Axk 0, то (T2(T1)-O. Отсюда следует, что I2 = 0.

604 2. Теоремаї (выражение значения криволинейного интеграла через интеграл Римана). Пусть функция д(х,у) непрерывна на L. Тогда криволинейные интегралы I2, I3 существуют и они равны

ь

I1=J g(x(t),y(t))yj(x'(t))2 + (y'(t))2dt,

a

b b I2 = J g(x(t),y(t))x'{t)dt, I3 = J g(x(t),y(t))y(t)dt.

a a

Доказательство. Рассмотрим сначала интеграл I\. Интегральная сумма Si(T) для интеграла

ь _

а

отличается от интегральной суммы tri (T) криволинейного интеграла тем, что вместо Alk там должна стоять величина

при некотором ?к Є Afc, т.е. дифференциал длины дуги кривой, взятый в точке ?fc и отвечающий приращению Atk переменной t. Далее можно было бы сослаться на определение интеграла Стильтьеса,

б

I1= j g(x(t),y(t))dl(t),

а

t __

где l(t) = f \/{x'(t))2 + (y'(t))2dt, и тем самым завершить доказатель-

а

ство равенства интегралов. Но мы дадим прямое доказательство этого факта.

В силу непрерывности производной I (t) на отрезке [а, 6] имеем равномерную непрерывность ее на нем. Тогда для любых точек t,?k Є имеем (t) - I (?fc)| < w(Atk), причем 1ішш(г) =: 0.

z—tO

Отсюда получим

tk tu

Alk= J l{t)dt = l{ik)Atk+ J (/'(<) -1 (?k))dt =

tfc-l tic-I

605 = I {tk)Atk + 0(u{Atk)Atk).

Поскольку д(хлу) непрерывна на компакте Ly она ограничена на нем, т.е. найдется M > О такое, что для любых (г, у) € L имеем \д(х,у)\<М.

Преобразуем интегральную сумму а\(T). Получим

к

= ^g(xk,yk)l\tk)Atk +О ^MAtkU(Atk)sJ = = Si(T)+ О(Л),

где

R< M ma xw(Aifc) • Atk < M(b — а) тахы(Д^). к к к

Так как R —> 0 при At —» 0, то это значит, что ^i(T) и Si(T) одновременно сходятся и имеют один и тот же предел. Теорема 1 доказана.

Эта теорема дает универсальный метод вычисления значений криволинейных интегралов. Следующие следствия из теоремы 1 получаются простым переходом от криволинейных интегралов к интегралам Римана, поэтому мы не будем приводить их доказательств. 1°. Справедливо следующее равенство:

J Pdx + Qdy = J(Р cosai + Qcosa2)^/,

AB L

где

/ / COStti = = , =, COStt2 = (т,ё2) =

Vi*')2 + (y')2' VWTW'

т=(х,у) — касательный вектор к кривой L в точке (ж, у), а ei и

ё2 — единичные орты, направленные по осям координат Ox и Oy.

2°. Если для любых точек (ж, у) Є L справедливо неравенство

9i{x,y) < 92(х, у), то имеем f gidl < f g2dl.

L L

3°. Выполняется неравенство | Jgdl\ < f \g\dl.

L L

4°. Если д непрерывна на кривой L, то существует точка і Є L такая, что f gdl = g(?)p(L), где p(L) — длина кривой L.

606 3. Значение криволинейных интегралов первого и второго рода не зависят от выбора параметризации, так как от нее не зависят интегральные суммы в их определении.
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed