Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Сделаем некоторые допущения. Пространство, в котором задана кривая L, будем для простоты считать двумерным. Саму кривую L будем считать кусочно-гладкой, т.е. ее можно разбить на конечное число гладких кусков (участков). Будем рассматривать только один такой кусок.
Как известно, кривая L является образом некоторого отрезка [а, 6] при отображении г = r(t),t Є [а,6], где f(<) = (x(t),y(t)), причем ж(<) и y(t) — гладкие функции на отрезке [а, 6]. Кроме того, внутренние точки отрезка переходят во "внутренние" точки кривой, а концы отрезка — точки а и b — переходят в граничные точки кривой А и В, т.е. f(a) = А,г(6) = В. Будем предполагать, что кривая L невырождена, т.е. не содержит особых точек. Другими словами, для любого t Є [а, Ь] вектор г (<) отличен от нуля.
Пусть T — размеченное разбиение отрезка [а, 6] : а = to < ti < < tm = ь, 6 ,-.-,fm — точки разметки, хк = ук = у(6)>
к = 1,..., m; Alk — длина части кривой L, которая является образом отрезка Ak = Для рассматриваемой кривой L длина кривой
выражается по формуле
tk
Alk= j <J(x'(t))i + (y'(t))4t. tk-1
Пусть функция д(х}у) определена на кривой L.
Определение 1. Если существует предел при Ат —> 0 интегральных сумм
m
<Г\(Т) - д{хк,Ук)А1к, к=1
то он называется интегралом первого рода от функции д(х, у) по кривой L.
603Этот интеграл обозначается так:
h = J g(xty)dl.
L
Рассмотрим интегральную сумму C2(T), где
т
Vi(T) ~ Y9(Xk,yk)Axk,Axk = x(tk) ~ x(tk~1)'
к=г
Определение 2. Если существует предел I2 интегральных сумм C2(T) при At 0, то он называется интегралом второго рода от функции д(х,у) в направлении от А до В.
Обозначается этот интеграл символом
h - J g(x,y)dx.
AB
Аналогично определяется еще один интеграл второго рода
h = J g{x,y)dy.
AB
Для интегралов Z2 и /3 обычно употребляют обозначения
h= J P(x,y)dx, h= J Q(x, y)dy.
AB AB
Выражение
I
AB
называется общим криволинейным интегралом второго рода по кривой L = AB от линейной дифференциальной формы Pdx -I- Qdy (здесь кривая обозначается своими начальной и конечной точками).
§ 2. СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ X. Пусть X = x(t) — постоянная величина. Тогда имеем
= J P{xyy)dx + Q{x,y)dy
I2 = J P{x}y)dx = 0.
AB
Действительно, так как для любого разбиения T величина Axk 0, то (T2(T1)-O. Отсюда следует, что I2 = 0.
6042. Теоремаї (выражение значения криволинейного интеграла через интеграл Римана). Пусть функция д(х,у) непрерывна на L. Тогда криволинейные интегралы I2, I3 существуют и они равны
ь
I1=J g(x(t),y(t))yj(x'(t))2 + (y'(t))2dt,
a
b b I2 = J g(x(t),y(t))x'{t)dt, I3 = J g(x(t),y(t))y(t)dt.
a a
Доказательство. Рассмотрим сначала интеграл I\. Интегральная сумма Si(T) для интеграла
ь _
а
отличается от интегральной суммы tri (T) криволинейного интеграла тем, что вместо Alk там должна стоять величина
при некотором ?к Є Afc, т.е. дифференциал длины дуги кривой, взятый в точке ?fc и отвечающий приращению Atk переменной t. Далее можно было бы сослаться на определение интеграла Стильтьеса,
б
I1= j g(x(t),y(t))dl(t),
а
t __
где l(t) = f \/{x'(t))2 + (y'(t))2dt, и тем самым завершить доказатель-
а
ство равенства интегралов. Но мы дадим прямое доказательство этого факта.
В силу непрерывности производной I (t) на отрезке [а, 6] имеем равномерную непрерывность ее на нем. Тогда для любых точек t,?k Є имеем (t) - I (?fc)| < w(Atk), причем 1ішш(г) =: 0.
z—tO
Отсюда получим
tk tu
Alk= J l{t)dt = l{ik)Atk+ J (/'(<) -1 (?k))dt =
tfc-l tic-I
605= I {tk)Atk + 0(u{Atk)Atk).
Поскольку д(хлу) непрерывна на компакте Ly она ограничена на нем, т.е. найдется M > О такое, что для любых (г, у) € L имеем \д(х,у)\<М.
Преобразуем интегральную сумму а\(T). Получим
к
= ^g(xk,yk)l\tk)Atk +О ^MAtkU(Atk)sJ = = Si(T)+ О(Л),
где
R< M ma xw(Aifc) • Atk < M(b — а) тахы(Д^). к к к
Так как R —> 0 при At —» 0, то это значит, что ^i(T) и Si(T) одновременно сходятся и имеют один и тот же предел. Теорема 1 доказана.
Эта теорема дает универсальный метод вычисления значений криволинейных интегралов. Следующие следствия из теоремы 1 получаются простым переходом от криволинейных интегралов к интегралам Римана, поэтому мы не будем приводить их доказательств. 1°. Справедливо следующее равенство:
J Pdx + Qdy = J(Р cosai + Qcosa2)^/,
AB L
где
/ / COStti = = , =, COStt2 = (т,ё2) =
Vi*')2 + (y')2' VWTW'
т=(х,у) — касательный вектор к кривой L в точке (ж, у), а ei и
ё2 — единичные орты, направленные по осям координат Ox и Oy.
2°. Если для любых точек (ж, у) Є L справедливо неравенство
9i{x,y) < 92(х, у), то имеем f gidl < f g2dl.
L L
3°. Выполняется неравенство | Jgdl\ < f \g\dl.
L L
4°. Если д непрерывна на кривой L, то существует точка і Є L такая, что f gdl = g(?)p(L), где p(L) — длина кривой L.
6063. Значение криволинейных интегралов первого и второго рода не зависят от выбора параметризации, так как от нее не зависят интегральные суммы в их определении.