Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 173

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 201 >> Следующая

598 Другими словами, мы имеем

ii(Q) = JJ y/EG-Ft'dxidxt.

D

Заметим, что последний интеграл может оказаться как собственным, так и несобственным.

Отметим, что величина площади параллелограмма, образованного сторонами ai = hrXl,a2 = hrX2, как известно, равна

^(Rkli) = H-Wlreitrxa Отсюда мы получим еще одну формулу для площади поверхности

v(Q) = J J !1^^4111^1^2.

D

Примеры. 1. Площадь поверхности верхней полусферы х2у2 -f Z2 = l,z > 0 равна 2п. Имеем

dxdy

,(Q)= //

COS (п, Є3) ' х2+у2<1

где п — (x,t/,z), Z ~ у/\ - X2 - y2.cos(n, єз) = г. Следовательно, получим

,(Q)= //

dxdy

Jl - X2 — у2 х2 + у2<!

Перейдем к полярным координатам. Будем иметь

2к \ 1 1

f , f rdv [ dr2 f dt

"iQ) = J *"J Tr^ = "J Tn^ = 'J Vt=

00 0 0

2. Площадь двумерного тора Q Є К3, задаваемого уравнением f = г((р, в) = ((6 + a cos в) cos <р, (b + a cosf?) sin у?, a sin в) , b > a, на области D изменения параметров,

D .= {ftp, 0)|О < <р < 2тг, 0 < 9 < 2л-}.

599 Имеем

г = (-(6 jT a cos 9) sin <р, (b + a cos в) cos 0) , Tq = (~а sin в cos <р, —а sin 9 sin <р, a cos в) , E = = (6 + а cos в)\ F = (г^, г'в) =O1C?= (r^, = а2,

л/EG - F2 = а|6 + а cos <?| = а(6 + acos0). Отсюда получим

2тг 2тг

^(Q) = J J \f EG - F2dtpd9 = Jdp J a(b + а cos 9)d9 = Атг7ab

D OO

§ 16. ПЛОЩАДЬ M -МЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ N ИЗМЕРЕНИЙ

Пусть m, п — натуральные числа, 1 < m < п.

Назовем m - мерной поверхностью Q в Rn множество точек {г}, г = (ri,...,rn), таких, что г = г(я), где х = (xi,...txm) Є D, причем множество D ограниченно и измеримо по Жордану, а отображение г взаимно-однозначно отображает D на Q и оно непрерывно всюду на D1 за исключением множества Li имеющего нулевую меру Жордана.

Будем говорить, что гладкая поверхность Q невырождена, если ранг матрицы Якоби отображения г = г(х) максимален, то есть равен т.

Пусть для простоты множество D есть куб и пусть T — разбиение его на равные кубы Djt со стороной h. Пусть, также, Xjt — левая нижняя вершина куба Djt.

Положим р = рк{х) = df(Xjt), Rjt = P(Djt) и определим интегральную сумму

= !>№)• к

Определение 1. Площадью поверхности Q назовем величину

p{Q) = lim сг{Т).

Дг-^о

Для вычисления сг(Т) нам необходимо найти объем параллелепипеда R^, образованного векторами Si = hrXi, .. ., am = ^xm-

600 Из линейной алгебры известно, что

V(Rk) = >Л(«Ь ¦ • 4«m) = Vmt

где Гт = Г(5і,..., am) — определитель матрицы Грама,

(abai) ... (ai,am)

Г(аь ..., ат) =

(dm,a l) ... (ат,ат)

Дадим прямой вывод формулы для Vm. При т = 1,2, очевидно, имеем

>/гГ=||а,|| = Ц, ^fT2 = Vl-H2 = V2.

Следовательно, h2 = jX Докажем, что Iijn = , где hm — расстояние вектора am до т — 1 — мерного пространства с базисом ai,...,am_i.

Представим ат в виде ctm = bm + hm, где Ьт Є {ai,.. .,am_i} = L, hm XX/. По условию существуют некоторые вещественные числа ci,...,cm_i, такие, что

bm = Ciai +----|-cm_iam_i.

Тогда справедлива следующая цепочка равенств

' т-1

Im-I

(ai> am)

(am,ai) ... (am,am)

m — 1

(ai,6m)

(bm,a i) ... ||6m||3 + ||M:

Гт-1 (oi, ai)

(am-l,ai) . (bm,ai)

Гт-1

(abam_i) (ai,6m) (am_i,am_i) (am_i, bm)

(bm, ap

\\bm\

Г m— 1

Гт-1

0

(frm,a i) ... ||Лт|

Гт-1

IIMI =

так как определитель в числителе первого слагаемого равен 0 (последняя строка в нем есть линейная комбинация предыдущих). Таким образом, объем Vm = V(Rft) параллелепипеда Rjs равен

Vm — vm_i Лт — угт_

і м ^

Гт-1



601 Заметим, что Гт > 0. Это следует из равенств

Г,

m _ L 2

т— 1

Следовательно, имеем

Г-~т

т —

= Him > QJ1 = IIa1Ir >0.

а(Т) = ? V^ii (^). • • - ,^1(Xje)MDjE).

к

Перейдем в этом равенстве к пределу при At —> 0. Получим

H(Q) = J- J ^nrXy(x),..^rXi(x))dxl...dxm.

D

Это и есть формула для вычисления площади т - мерной поверхности в п - мерном пространстве.

При m = 1 она дает формулу длины дуги гладкой кривой /г(Q) —

J ||г (t)\\dt, а при т = п мы приходим к формуле замены переменных D

в п - кратном интеграле

/i(Q)= J-- J VTdxl-^dxm = J- J\Jf(x)\dxx...dzm,

D D

где Jf(х) — якобиан отображения f = г(х).

Замечания. 1. Пусть A = (ai,...,am) — матрица из т векторов -столбцов в п — мерном пространстве и At — транспонированная к ней матрица. Тогда из формулы Бине-Коши имеем

^m = Vm ~ e

1<«1< Om<«

GtillI Cliu 2 a iltm

aim, 1 a»m, 2 • ¦ • aim,m

Это равенство означает следующее. Квадрат объема параллелепипеда равен сумме квадратов объемов его проекций на все координатные т - мерные подпространства (обобщение теоремы Пифагора).

2. Справедливо неравенство Адамара

Г(аь .. .,am) < T(ai).. .Г(ат),

причем равенство достигается только, если векторы а,- и aj,i ф j, ортогональны для всех 1 < i,j < т.

3. В силу своего определения величина площади т-мерной поверхности не зависит от выбора параметризации. Глава XX ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Лекция 10

§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Криволинейные интегралы — это интегралы по кривой L в п-мерном пространстве. Мы рассмотрим два вида таких интегралов: интегралы первого и второго рода.
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed