Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
598Другими словами, мы имеем
ii(Q) = JJ y/EG-Ft'dxidxt.
D
Заметим, что последний интеграл может оказаться как собственным, так и несобственным.
Отметим, что величина площади параллелограмма, образованного сторонами ai = hrXl,a2 = hrX2, как известно, равна
^(Rkli) = H-Wlreitrxa Отсюда мы получим еще одну формулу для площади поверхности
v(Q) = J J !1^^4111^1^2.
D
Примеры. 1. Площадь поверхности верхней полусферы х2у2 -f Z2 = l,z > 0 равна 2п. Имеем
dxdy
,(Q)= //
COS (п, Є3) ' х2+у2<1
где п — (x,t/,z), Z ~ у/\ - X2 - y2.cos(n, єз) = г. Следовательно, получим
,(Q)= //
dxdy
Jl - X2 — у2 х2 + у2<!
Перейдем к полярным координатам. Будем иметь
2к \ 1 1
f , f rdv [ dr2 f dt
"iQ) = J *"J Tr^ = "J Tn^ = 'J Vt=
00 0 0
2. Площадь двумерного тора Q Є К3, задаваемого уравнением f = г((р, в) = ((6 + a cos в) cos <р, (b + a cosf?) sin у?, a sin в) , b > a, на области D изменения параметров,
D .= {ftp, 0)|О < <р < 2тг, 0 < 9 < 2л-}.
599Имеем
г = (-(6 jT a cos 9) sin <р, (b + a cos в) cos 0) , Tq = (~а sin в cos <р, —а sin 9 sin <р, a cos в) , E = = (6 + а cos в)\ F = (г^, г'в) =O1C?= (r^, = а2,
л/EG - F2 = а|6 + а cos <?| = а(6 + acos0). Отсюда получим
2тг 2тг
^(Q) = J J \f EG - F2dtpd9 = Jdp J a(b + а cos 9)d9 = Атг7ab
D OO
§ 16. ПЛОЩАДЬ M -МЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ N ИЗМЕРЕНИЙ
Пусть m, п — натуральные числа, 1 < m < п.
Назовем m - мерной поверхностью Q в Rn множество точек {г}, г = (ri,...,rn), таких, что г = г(я), где х = (xi,...txm) Є D, причем множество D ограниченно и измеримо по Жордану, а отображение г взаимно-однозначно отображает D на Q и оно непрерывно всюду на D1 за исключением множества Li имеющего нулевую меру Жордана.
Будем говорить, что гладкая поверхность Q невырождена, если ранг матрицы Якоби отображения г = г(х) максимален, то есть равен т.
Пусть для простоты множество D есть куб и пусть T — разбиение его на равные кубы Djt со стороной h. Пусть, также, Xjt — левая нижняя вершина куба Djt.
Положим р = рк{х) = df(Xjt), Rjt = P(Djt) и определим интегральную сумму
= !>№)• к
Определение 1. Площадью поверхности Q назовем величину
p{Q) = lim сг{Т).
Дг-^о
Для вычисления сг(Т) нам необходимо найти объем параллелепипеда R^, образованного векторами Si = hrXi, .. ., am = ^xm-
600Из линейной алгебры известно, что
V(Rk) = >Л(«Ь ¦ • 4«m) = Vmt
где Гт = Г(5і,..., am) — определитель матрицы Грама,
(abai) ... (ai,am)
Г(аь ..., ат) =
(dm,a l) ... (ат,ат)
Дадим прямой вывод формулы для Vm. При т = 1,2, очевидно, имеем
>/гГ=||а,|| = Ц, ^fT2 = Vl-H2 = V2.
Следовательно, h2 = jX Докажем, что Iijn = , где hm — расстояние вектора am до т — 1 — мерного пространства с базисом ai,...,am_i.
Представим ат в виде ctm = bm + hm, где Ьт Є {ai,.. .,am_i} = L, hm XX/. По условию существуют некоторые вещественные числа ci,...,cm_i, такие, что
bm = Ciai +----|-cm_iam_i.
Тогда справедлива следующая цепочка равенств
' т-1
Im-I
(ai> am)
(am,ai) ... (am,am)
m — 1
(ai,6m)
(bm,a i) ... ||6m||3 + ||M:
Гт-1 (oi, ai)
(am-l,ai) . (bm,ai)
Гт-1
(abam_i) (ai,6m) (am_i,am_i) (am_i, bm)
(bm, ap
\\bm\
Г m— 1
Гт-1
0
(frm,a i) ... ||Лт|
Гт-1
IIMI =
так как определитель в числителе первого слагаемого равен 0 (последняя строка в нем есть линейная комбинация предыдущих). Таким образом, объем Vm = V(Rft) параллелепипеда Rjs равен
Vm — vm_i Лт — угт_
і м ^
Гт-1
601Заметим, что Гт > 0. Это следует из равенств
Г,
m _ L 2
т— 1
Следовательно, имеем
Г-~т
т —
= Him > QJ1 = IIa1Ir >0.
а(Т) = ? V^ii (^). • • - ,^1(Xje)MDjE).
к
Перейдем в этом равенстве к пределу при At —> 0. Получим
H(Q) = J- J ^nrXy(x),..^rXi(x))dxl...dxm.
D
Это и есть формула для вычисления площади т - мерной поверхности в п - мерном пространстве.
При m = 1 она дает формулу длины дуги гладкой кривой /г(Q) —
J ||г (t)\\dt, а при т = п мы приходим к формуле замены переменных D
в п - кратном интеграле
/i(Q)= J-- J VTdxl-^dxm = J- J\Jf(x)\dxx...dzm,
D D
где Jf(х) — якобиан отображения f = г(х).
Замечания. 1. Пусть A = (ai,...,am) — матрица из т векторов -столбцов в п — мерном пространстве и At — транспонированная к ней матрица. Тогда из формулы Бине-Коши имеем
^m = Vm ~ e
1<«1< Om<«
GtillI Cliu 2 a iltm
aim, 1 a»m, 2 • ¦ • aim,m
Это равенство означает следующее. Квадрат объема параллелепипеда равен сумме квадратов объемов его проекций на все координатные т - мерные подпространства (обобщение теоремы Пифагора).
2. Справедливо неравенство Адамара
Г(аь .. .,am) < T(ai).. .Г(ат),
причем равенство достигается только, если векторы а,- и aj,i ф j, ортогональны для всех 1 < i,j < т.
3. В силу своего определения величина площади т-мерной поверхности не зависит от выбора параметризации.Глава XX ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лекция 10
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Криволинейные интегралы — это интегралы по кривой L в п-мерном пространстве. Мы рассмотрим два вида таких интегралов: интегралы первого и второго рода.