Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
1) если несобственный интеграл JJ g(x,y)dp = I сходится, то схо-
D
дится интеграл JJ g0(x,y)dp = I0;
D
2) если же несобственный интеграл JJgo(x,y)dp расходится, то
D
будет расходиться и интеграл JJ g(x,y)dp.
D
Доказательство. 1) Так как интеграл I сходится, то существует D-допустимая последовательность (DriJ, такая, что при п —> оо имеем
In ~ IIL
Dn
Но тогда справедливы неравенства
C = JJ 9o{x,y)dp<In <1
Dfl
и, кроме того, последовательность In является неубывающей. Следовательно, существует предел Iim In — Iq < I. По теореме 1 имеем,
п-+оо —
что существует несобственный интеграл Iq = ffg0(x, y)dp
D
2) В силу расходимости интеграла JJgo(x,y)dp для любой D -
D
допустимой последовательности Dn при п —у оо имеем
^= JJ9o{x,y)dp -)- +00.
Dn
Следовательно, при п —у оо получим In +оо, поскольку In > In. Теорема 2 доказана.
Следствие теоремы 2. Пусть несобственный интеграл
\g{x,y)\dp
//
D
сходится. Тогда сходится интеграл
JJ 9{x,y)dp.
D
592 Доказательство. Рассмотрим функции
Iffl + 9 п Ы ~9 9+ = 9- = 2
Поскольку 0 < д~ < |</| и 0 < <jr+ < по теореме 2 сходятся интегралы
ff 9-dfi, ffg+dfi Но тогда сходится интеграл от функции д = д+—д-. D D
Следствие теоремы 2 доказано.
Определение 2. Если сходится интеграл ff \g(x,y)\dfi, то говорят,
D
что интеграл ff g(x,y)dii сходится абсолютно.
D
Последнее следствие можно сформулировать так: если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится.
Заметим, что утверждения, аналогичные теоремам 1 и 2, имеют место и для несобственных интегралов второго рода. Оказывается, что в случае несобственных кратных интегралов обычная сходимость влечет за собой и абсолютную сходимость. В случае однократных интегралов это не так.
Приведем только формулировки двух теорем, полезных для приложений.
ТеоремаЗ. Если интеграл Jf д(х, y)dfi сходится и существует
D
повторный интеграл от функции д(х,у) по области D, то двойной интеграл равен повторному.
Теорема 4. Если интеграл ff g(y)d? сходится и у = <р(х) —
D
гладкое отображение области Dq в D, взаимно однозначное для внутренних точек Do, то справедлива следующая формула замены переменных:
JJgivW = Jj 9{<р{х))\Ы*)№-
D D о
Примеры. 1. Интеграл
Г Г dx
J '"J PF
F >1
где ||х|| = \Jx\ 4- ¦ ¦ •+ х?, сходится при a > п и расходится при a < п.
Рассмотрим множество Sa точек х, удовлетворяющих неравенствам А < ||xj| < 2А. Положим А = Ak = 2к, к = 0,1,2,... . Получим
Ixll«
ц*ц>1 *=0
593 Последний ряд сходится при —а 4- п < 0, т.е. при а > п. Пусть Ka — множество точек X вида ||х|| < А. Тогда имеем
P(Sa) = Ii(K2A) - №л) - Ап(р(К2) - ^(AT1)).
Отсюда
!¦¦¦j^iw^wK*-«*)).
• І|г||>і
Последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2п~а. Следовательно, по признаку сравнения интеграл расходится при а<п. 2. Интеграл
[...Г_u*_
J J Mori + ••• + \х\а* -
I И1>1
где Qi,. < 0, сходится при +----h ~ < 1 и расходится при
L + ...+ J->\.
otl <*п —
Пусть Sa — множество точек, для которых справедливо неравенство
А < jxi|ai + ••-+IxrJa" <2А.
Тогда для любой точки х Є Sa имеем |х,| < (2J4)1/a*, 5 = 1,...,п. Следовательно,
Отсюда получим, что интеграл сходится при + • ¦ • + ~— 1 < 0.
cc1 п
Пусть Ka множество точек х с условием |xi|ai + --- + IxnIan < А и Sa = K2A \ Ka • Очевидно, имеем
p(SA) = р(К2А) - р(КА) = A^+ +^(р(К2) - р(к0). Следовательно, интеграл
/f dx 1
П*Н>1
OO ,
расходится при ^ + * * * + --1 > 0.
На этом мы завершаем рассмотрение теории несобственных кратных интегралов. Лекция 12
§ 15. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Наша задача состоит в том, чтобы распространить понятие измеримости на множества, расположенные на двумерных поверхностях в пространствах размерности три и выше. Для этого нам необходимо ответить на следующие вопросы. Что такое поверхность? И какие поверхности мы будем рассматривать?
Раньше (во втором семестре) мы называли поверхностью Q множество точек (х,у, z), удовлетворяющих уравнению г = д(х,у) для некоторой функции д{х,у) от двух переменных х и у, причем точка (х, у) принадлежит некоторому множеству на плоскости хОу. Обычно от функции д{х,у) требуют непрерывности всюду, за исключением, быть может, множества L нулевой меры Жордана. Проекцией поверхности Q на плоскость хОу является область D. Предположим, что область D — измеримый по Жордану компакт. Пусть измеримые множества D\,. .., Dt образуют его разбиение т. Возьмем точки Mі,. . ., Mt на границе соответственно каждой из областей Di,..., Dt. Этим точкам при проекции на плоскость соответствуют точки Ni,..., Nt на поверхности Q. Пусть 7i,...,7t — углы между нормалью к поверхности Q в точке Ns, s = 1, ... ,t, и осью Oz. Рассмотрим части касательных плоскостей Qs, $ = 1 проходящих через точки N3 и имеющих своей проекцией на плоскость хОу область Ds. Получим "чешуйчатую" поверхность. Из линейной алгебры известно, что ее площадь ?(Q3) равна
