Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
IAI =
/
b+6
F (x)e
F(T)
F'(x)
¦dx
< e
F(c+S)
Кроме того, справедливы неравенства
c+<S c+S
\F{c + 6)\
J f"(x)dx = J IF"(x)\dx>6\i
Следовательно,
jF (c-*)| >SX2.
Воспользуемся разложением Тейлора функции F(x) на (с — <5, с + J). При некотором ? E (с — с 4- получим
с+6 S S
I2= J eF^dx = J eF^dy = J eF^+
c-S -S -S
Q О
/И /> и / ш \
e^y'dy + „*<«> J еЧ*»2 -Ady =
-S
,F(C)
|F"(с)|1/2
+ 00
J е~У2!Чут
-S
¦2
|F"(c)|V2
— 00
+ 00 /
<51 1/2
е 3 t2dy+
,-у
535 +Biep^ j еЧ^У2X^dy = о
ys- №
где В, Bi, B2 — некоторые абсолютные постоянные. Если а < с < а + 6, то интеграл 11 оценивается так:
a л
I'll < eF(*Ux =
J t-S
а /
dx
<
1
Аналогично, если b — 6 < с < Ь, то
Отметим, что всегда имеет место оценка
ь
ь f eF^dx
J a
/II
3 dx
<
Поэтому
Ь _
а
|/3| < min(e^>|F'(6)|-\V^FejpWAj 1/а).
Теорема 1 доказана полностью.
Пример. Найти асимптотическую формулу при Л —> +оо для
+ OO
Г(Л + 1) = Jt
іхе~Чі.
Приводя подынтегральное выражение к виду, данному в условии теоремы 1, получим
Р(0 = АЫ-1, Ґ it) =J-I, F"{t) = -± =
536 В точке t = X функция F(t) имеет максимум. Представим интеграл для Г(А + 1) в виде суммы трех интегралов:
А/2 2Л
оо
Г(А+1) = J + J +J = I1 +I2 +I3
О А/2 2А
Интегралы на промежутках (О, А/2), (2А, +со) оценим исходя из второй теоремы о среднем. Получим
Л - /V,, s ^ , (і) V» = (?" (f '
о
......Л._ЇА (\\Ч 2
На промежутке [А/2,2А] применим теорему 1. Будем иметь 16Л2 = 1> -F"W > ± = A2, F™«) = ^ < if = I6A3,
2А Л л
• J txe-4t = V2^\(^j A4Z5A"3/5.
А/2
Таким образом, при А -у +оо получим
Г(А + 1) = Л/27ГА ^yА + В * A2^5, т.е. при А —У +оо имеет место асимптотическая формула
Г (А + 1) = VbrX (l + ЯА"1'10) .
Мы видим, что доказательство теоремы 1 основано на принципе локализации, т.е. на получении асимптотики интеграла в окрестности особой точки. Аналогичное применение принципа локализации к интегралам от тригонометрических функций называется методом стаїщонарной фазы.
Приведем формулировку этого метода в виде теоремы. Следует отметить, что доказательство ее в основных чертах повторяет доказательство теоремы 1.
537 Теорема2. Пусть Л, Аг, A3 — некоторые положительные постоянные, F(x) — вещественная функция, непрерывная со своими производными до третьего порядка на отрезке [а, 6], и при всех х E [а, Ь] справедливы неравенства
О < A2 < F" (ж) < AA2, IF'" {х) I < AA3.
Пусть также существует точка с, а < с < Ь, такая, что F (с) — 0. Тогда справедлива формула
о !
ч ,_pix/4+iF(c)
elF^dx — л/2тг-_
е ax ~VZ7T \F"(c)\l/2
+ Я,
R < В (Х;4/ЬХ\/5 + min
1 !-»/Л •.
A0 + mm
1_' X-i/2S
' 2
\F'(b)\
\ чІ-Р'(а)Г 2 /
где В — некоторая абсолютная постоянная.
Заметим, что если при всех х Є справедливы неравенства
tt
О < A2 < — F (х) < AA2, то из теоремы 2 следует формула для
функции G(x) = — F(x), т.е. мы получаем соответствующую формулу
ь
для интеграла вида J e~tF^dx.
a
Доказательство. Функция F (х) обращается в нуль только в точке X = с, поскольку F (х) является монотонной функцией ввиду положительности F (аг) на отрезке [а, 6]. Положим S = (А2А3)""1/5. Пусть сначала для точки с выполняется условие а + & < с <Ъ — 8. Тогда имеем
Ь с—5 6.
JeipMdx= J + J + J = I1 +I2 + I3.
а а с~6 с+6
Оценим сверху интегралы |Д| и ]/2|. По второй теореме о среднем имеем
с-6
Uli <
/
F (х) cos F(x)
dx
+
с-6
S
F (x) sin F(x)
dx
<
с-6
<
\F'(c-S)\
I
F (ж) cos F(x)dx
+
I F'(c-6)\
c-S 1
F (zr) sin F(x)dx
<
538 <
— I с'
\F'(c-S)\
I J F"(x)dx\
c-S
- SX2-
Точно та же самая оценка имеет место и для величины |/з|. По формуле Тейлора при некотором ? Є (с — Sy с + (S) получим
c+<J s S
/л л It til
eiF^dx = IeVMdy= є^+Ч^у'+Ч^у3)^^
C-S -S -S
Je^^dy+e^ Je-
W I ,^yjfill+ I e'W (еЧ^У* _ Л dy =
-S
,iF(c)
-S
+00
+00
(F"( c))V2
-OO
0
+BiJ X3y3dy = V2^
е'(т+^)) / 1 \
(F-(C))V*+B2 [х^б+Хз6 ) =
где В, Bij B2,О < в < 1, — некоторые абсолютные постоянные.
Если а < с < a + S, то интеграл Д оценивается по второй теореме о среднем. Имеем
а /
г-6
F'(х) cos F(х)
FrJx)
dx
<
I Ct'
li7» I
Аналогично, если b — S < с < Ь, то
m < тбт:
Но так как всегда имеет место оценка
6
di
< 2
то
A2
|/і| < min(41/(0)1"1,8Л"1/2),
539 \h\ < min(4|F'(a)r1,8A2-1/2). Для завершения доказательства теоремы 2 осталось показать, что
о /
,iF(t)d3
— 1/2
Положим 8 = 2Л2 . Будем считать, что b — а > 48, так как в противном случае тривиальная оценка интеграла, имеющая вид 6-а, является достаточной. Представим интеграл в виде
с—S c+i Ь
J Cip^dx = J + J + J =/1+/2 + /3.
а а с —St с+^
Если а < с < с + 8 или Ь — 8 < с < 6, то мы будем рассматривать только сумму двух интегралов:
